Wie viele Kombinationen gibt es bei 6 Farben

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werdet ihr sicher irgendwann ausrechnen müssen, wie viele Möglichkeiten oder Anordnungen es bei einem Experiment gibt. Also konkret: Wie viele mögliche Ereignisse gibt es? Um diese zu berechnen, kommt es immer darauf an, wie das Experiment aufgebaut ist:

Übersicht

Dies ist der Fall, wenn man beispielsweise 5 Leute hat und ausrechnen will, wie viele Möglichkeiten es gibt sie nebeneinander zustellen. Dies berechnet sich relativ leicht, ihr nehmt einfach die Fakultät der Anzahl von Leuten bzw. den Objekten, die ihr anordnen wollt. Wichtig dabei das aber alle Objekte unterscheidbar sind. n ist die Anzahl an Objekten:

n!

Beispiele der Anwendung:

• 5 Leute auf 5 Stühle setzen
• 10 Autos in 10 Parklücken einordnen

Aufgabe zum Üben:

Möchtet ihr mehr üben? Wir haben ein Arbeitsblatt zur Kombinatorik für euch.

Habt ihr also mehrere Objekte, von denen aber manche gleich sind und ihr wissen wollt, wie man sie anordnen kann, berechnet man es folgendermaßen:

1. Nehmt die Fakultät der Objekte insgesamt, also wie viele es sind
2. Teilt dies durch die Fakultät aller gleichen Objekte, habt ihr also zum Beispiel 6 Kugeln davon sind 4 gleich und noch mal 2 gleich, dann teilt ihr also durch 4! · 2!.

Beispiel: Ihr habt n Kugeln und zieht eine nach der anderen aber davon sind k1 rot, k2 schwarz, k3 blau..., also die sind gleich. Dann berechnet ihr das so:

Beispiele der Anwendung:

• 3 VW´s und 2 Volvos in 5 Parklücken (n=5, k1=3, k2=2)
• Reihenfolge beim ziehen von 4 roten und 2 blauen Kugeln (n=6, k1=4, k2=2)

Aufgabe zum Üben:

Möchtet ihr mehr üben? Wir haben ein Arbeitsblatt zur Kombinatorik für euch.

Unter Betrachtung der Reihenfolge versteht man, dass es auch wichtig ist, welches Ereignis, wann eingetreten ist.

Sollt ihr die Anzahl an möglichen Ereignissen berechnen, wobei man nicht "zurücklegt" also ein Ereignis nicht doppelt vorkommen darf, könnt ihr euch das immer als Anordnungsproblem vorstellen, also wie viele Möglichkeiten gibt es diese Kombinationen anzuordnen, dann macht man das so:

1. Nehmt wieder die Fakultät der gesamten Anzahl an Objekten, die zur Auswahl stehen
2. Das teilt ihr dann durch die Fakultät der Anzahl an Objekten, die übrig bleiben, also nicht ausgesucht werden. Sucht man also zum Beispiel 3 aus 5 Kugeln aus teilt man durch 2!, da ja 2 Kugeln übrig bleiben.

Allgemein also (n ist die Anzahl der Kugeln insgesamt und k die Anzahl an ausgesuchten Kugeln):

Beispiele der Anwendung:

• 3 aus 5 Kugeln ziehen, wobei wichtig ist welche zuerst und welche zuletzt gezogen wird. Es macht also einen unterschied, ob erst z.B. eine blaue Kugel gezogen wurde und dann die rote oder umgekehrt, dass sind dann unter Betrachtung der Reihenfolge 2 verschiedene Ergebnisse.

Aufgabe zum Üben:

Noch Übung nötig? Wir haben ein Arbeitsblatt zur Kombinatorik für euch.

Sollt ihr die Anzahl an Möglichkeiten ausrechnen, wenn man aus Objekten welche aussuchen muss, aber auch Objekte mehrfach aussuchen kann (z.B. nach jedem Ziehen die Kugel wieder zurück in den Lostopf), wobei die Reihenfolge auch wichtig ist, dann macht ihr das, indem ihr einfach die Anzahl der gesamten Objekte hoch die Anzahl nimmt, die man aussucht.

(n ist die Anzahl der Elemente (oder Möglichkeiten) und k die Anzahl an "Ziehungen")

nk

Beispiele der Anwendung:

• Zahlenschloss mit 3 Einstellungsstellen (3 Ringe an denen man die Zahl hin dreht) und je 10 Zahlen. (n=10 und k=3). Ihr könnt ja an jeder Stelle des Schlosses noch mal z.B. die 9 einstellen, daher mit Mehrfachauswahl.
• Eine Binärzahl kennt 2 Zustände (0 und 1). Mit einer Reihenfolge von 10 Zahlen können 2 hoch 10 verschiedene Variationen entstehen. (n=2 und n=10)

Aufgabe zum Üben:

Weitere Aufgaben findet ihr im Arbeitsblatt zur Kombinatorik.

Ohne Betrachtung der Reihenfolge bedeutet es ist egal, ob erst die eine Kugel und dann die andere gezogen wurde oder umgekehrt. Da sind beide Ereignisse gleichbedeutend. Die folgenden Berechnungen sind ohne Betrachtung der Reihenfolge:

(zum Thema Binomialkoeffizienten geht´s HIER) Sollt ihr die Anzahl an möglichen Ereignissen berechnen, wobei man nicht "zurücklegt", also ein Ereignis nicht doppelt vorkommen darf, (ihr berechnet also, wie viele mögliche Kombinationen es gibt) ohne Betrachtung der Reihenfolge, macht ihr das so (n ist die Anzahl der Elemente und k die Anzahl an Auswahlen):

Anwendungsbeispiel:

• Lotto 6 aus 49, also man zieht 6 Kugeln aus 49, dabei ist die Reihenfolge ja egal, ob erst die 3 gezogen wird oder zuletzt, macht ja keinen Unterschied. (n=49 und k=6)
• Mehrfachwurf einer Münze, wobei die Anzahl an Möglichkeiten berechnet werden soll, wenn beispielsweise 2 mal Kopf vorkommen soll. (n=Anzahl an Würfen und k=Anzahl an Kopf Würfen)

Aufgabe zum Üben:

Weitere Aufgaben findet ihr im Arbeitsblatt zur Kombinatorik.

Die Anzahl der möglichen Ereignisse, wobei wieder "zurücklegt" bzw. die Ergebnisse mehrfach vorkommen dürfen, ohne Betrachtung der Reihenfolge. Die Berechnung sieht so aus (n ist die Anzahl der Kugeln insgesamt und k die Anzahl der Kugeln die man aussucht):

Anwendungsbeispiel:

• 4 Kugeln werden aus einem Topf von 6 Kugeln gezogen, dabei wird nach jedem mal die Kugel gleich wieder zurückgelegt.

Aufgabe zum Üben:

Wenn ihr mehr für dieses Thema üben möchtet könnt ihr euch unser kostenloses Arbeitsblatt downloaden. Es enthält Aufgaben zu allen oben beschriebenen Fällen inklusive Lösungen.

Arbeitsblatt Kombinatorik