Wie rechnet man den flächeninhalt eines dreiecks aus

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Der Flächeninhalt eines Dreiecks gibt an, wie groß die Fläche innerhalb der Linien des Dreiecks ist.

Um den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, verwendet man eine Erweiterung zum Rechteck

Man kann dann nämlich sehen, dass das Dreieck genau die Hälfte des Rechtecks ausmacht, denn die Diagonale halbiert das Rechteck. Und den Flächeninhalt des Rechtecks kann man nach Formel berechnen mit

Länge $\cdot$ Breite = g $\cdot$ h

Dabei sind g und h die Grundlinie und die Höhe des Dreiecks

Man erhält also, dass

Länge $\cdot$ Breite des Rechtecks

doppelt so viel Flächeninhalt ergibt, wie das rechtwinklige Dreieck hat

somit kommt man auf die Formel für den Flächeninhalt A des rechtwinkligen Dreiecks:

A = 12⋅\frac12\cdot21​⋅ Grundlinie $\cdot$ Höhe

Der Flächeninhalt von allgemeinen Dreiecken

Um den Flächeninhalt von Dreiecken ohne besondere Eigenschaften zu berechnen, greifen wir auf die Berechnung von Flächeninhalten von rechtwinkligen Dreiecken zurück

Man sieht in der oberen Abbildung, dass die Höhe das Dreieck in zwei kleinere Teildreiecke teilt.

Beide Teildreiecke sind rechtwinklige Dreiecke, denn die Höhe steht immer im rechten Winkel zur Grundlinie (hier g).

Damit hat man jetzt das Dreieck in zwei kleinere Dreiecke aufgeteilt, deren Flächeninhalt man wie oben berechnen kann.

Um die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, gibt es grundsätzlich mehrere Möglichkeiten:

1. Berechnung mit Grundlinie und zugehöriger Höhe

• allgemein

• Sonderfälle für rechtwinkliges und für gleichseitiges Dreieck

2. Berechnung mit zwei Seiten und dem Sinus des Winkels dazwischen

3. Berechnung mit einer Determinante (nur im Koordinatensystem möglich)

Dreiecksfläche mit Grundlinie und Höhe berechnen

Dies ist die zumeist verwendete Methode.

Man braucht dabei zur Berechnung der Dreiecksfläche AΔA_{\Delta}AΔ​

• die Grundlinie $g$ und

• die Höhe $h$ des Dreiecks.

Verschiedene Versionen der Formel

Grundlinie $g$ kann jede beliebige Seite des Dreiecks sein; $h$ muss aber die jeweils zugehörige Höhe sein.

Damit kann die Formel in drei verschiedenen Formen erscheinen:

Sonderfall: rechtwinkliges Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ gilt:

(Die Formel AΔABC=12⋅c⋅hcA_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_cAΔABC​=21​⋅c⋅hc​ gilt natürlich immer noch.)

Sonderfall: gleichseitiges Dreieck

In einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge $a$ gilt:

Dreiecksfläche mit dem Sinus berechnen

Wenn man bereits den Sinus kennt und verwenden darf, kann man die Fläche eines Dreiecks auch mit Hilfe

• zweier Seitenlängen und

• dem Sinus des dazwischenliegenden Winkels

berechnen.

Statt $\gamma$ kann natürlich auch jeder andere Winkel des Dreiecks betrachtet werden, und daher kann die Formel auch wieder in drei verschiedenen Formen auftreten:

Dreiecksfläche mit der Determinante berechnen

Diese Methode funktioniert natürlich nur, wenn das Dreieck in einem Koordinatensystem gegeben ist.

Der Artikel dazu ist hier.