Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen rechten Winkel, also einen Winkel, der genau 90° groß ist. Folgendes solltest du zum rechtwinkligen Dreieck wissen:
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Die Seitenlängen können in unterschiedlichem Verhältnis zueinander stehen. Daraus lassen sich verschiedene Dreiecks-Arten ableiten.
Bei einem ungleichseitigen Dreieck sind alle Seiten unterschiedlich lang. Auch die Innenwinkel sind unterschiedlich groß:
Ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich lang sind, wird gleichseitiges Dreieck genannt. Auch die Innenwinkel sind bei dieser Dreieck-Art gleich groß, sie betragen 60°.
Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. Diese beiden Seiten werden a und b genannt und als Schenkel des Dreiecks bezeichnet. Auch zwei Winkel haben dadurch diesselbe Größe (hier α und β). Es gilt also:
Die Berechnung des Umfangs U eines Dreiecks ist ganz simpel und für alle Dreiecksarten gleich. Du addierst hierfür einfach die einzelnen Seitenlängen:
Ein Dreieck hat die Seitenlängen a = 5 cm, b = 7 cm und c = 10 cm. Gesucht wird der Umfang des Dreiecks. U = a + b + c
U = 5 cm + 7 cm + 10 cm
U = 22 cm Der Umfang des Dreiecks beträgt 22 cm.
Probiere es selbst aus und bearbeite die folgenden Übungsaufgaben! Wenn du nicht weiterkommst, haben wir natürlich auch die Lösung parat.
Berechne den Umfang eines Dreiecks, das die Seitenlängen a = 11 cm, b = 4,5 cm und c = 9 cm hat.
Wir haben die Seitenlängen alle gegeben. Somit können wir sie einfach in die Formel einsetzen: U = a + b + c U = 11 cm + 4,5 cm + 9 cm U =24,5 cm Der Umfang des Dreiecks beträgt 24,5 cm.
Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge c = 5 cm. Berechne seinen Umfang!
Wir wissen, dass das Dreieck gleichseitig ist. Das heißt, alle Seiten haben dieselbe Länge: a = b = c = 5 cm U = a + b + c U = 5 cm + 5 m + 5 cm U = 15 cm Der Umfang des Dreiecks beträgt 15 cm.
Das Dreieck ist gleichschenklig und hat einen Umfang von 20 cm. Die Seite c ist 5 cm lang. Berechne die Länge der Schenkel a und b!
Da das Dreieck gleichschenklig ist, sind die Seiten bzw. Schenkel a und b gleich lang: a = b Daher können wir b in der Formel durch a ersetzen und lösen die Formel nach a auf: U = a + a + c 20 cm = a + a + 5 cm 20 cm – 5 cm = a + a 15 cm = 2 · a 7,5 cm = a = b Die Schenkel a und b haben beide eine Länge von 7,5 cm.
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Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, musst du die Länge der Grundseite mit der Höhe multiplizieren und das Ergebnis durch 2 teilen. Die Formel hierzu lautet: A= ½ • g • h
Der Rechenweg wird in den beiden oberen Abbildungen veranschaulicht. Links siehst du ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c. Außerdem ist die Höhe von c (= hc) eingezeichnet. Die Höhe einer Seite ist ein Lot, also eine senkrechte Linie, die die Seite mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt verbindet. Jede Dreieck-Seite besitzt solch ein Lot. Klick auf den folgenden Tab, wenn du die Herleitung der Flächenformeln genauer verstehen möchtest.
Wie du in den Abbildungen siehst, wird das Dreieck durch das Einzeichnen der Höhe von c in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt. Ergänzt man diese Dreiecke um zwei kongruente (= deckungsgleiche) Dreiecke (Abbildung rechts), erhält man ein Rechteck. Nun wird klar, dass man die Fläche eines Rechtecks berechnet und dieses Ergebnis durch zwei teilt. Das Rechteck hat in diesem Fall die Seitenlängen c (= Grundfläche) und hc (= Höhe der Grundfläche):
Noch einfacher ist die Flächenberechnung bei einem rechtwinkligen Dreieck. Links siehst du ein Dreiecks, dessen Winkel γ = 90 ° ist. Wie du merkst, kann man das Dreieck verdoppeln, wodurch ein Rechteck entsteht (siehe rechte Abbildung).
Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu berechnen, brauchst du also einfach den Flächeninhalt des Rechtecks durch 2 zu teilen:
Schauen wir uns den Rechenweg an einem Beispiel an. Ein Dreieck hat die Seitenlänge c = 9 cm. Die Seitenhöhe von c (= hc) beträgt 5 cm. Wie groß ist die Fläche des Dreiecks? Wir haben die Länge der Grundseite c (= 9 cm) und ihre Höhe (= 5 cm) gegeben. Diese Werte setzen wir in die Formel ein: A = ½ · g · h A = ½ · 9 cm · 5 cm A = ½ · 45 cm² A = 22,5 cm² Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 22,5 cm². Achte darauf, dass der Flächeninhalt immer im Quadrat (z.B. cm²) stehen muss.
Nun bist du an der Reihe! Wende die Flächenformeln in den folgenden Übungsaufgaben an.
Die Seite a eines Dreiecks besitzt eine Länge von 7 cm. Die Seitenhöhe von a (= ha) beträgt 3 cm. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.
In diesem Beispiel nehmen wir zur Berechnung die Seite a als Grundseite g. Wir setzen die Werte in die Flächenformel ein: A = ½ · g · h A = ½ · 7 cm · 3 cm A = ½ · 21 cm² A = 10,5 cm² Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 10,5 cm².
Du hast ein Dreieck vorliegen, das die Seitenlängen a = 5 cm, b = 10 cm und c = 7 cm hat. Zusätzlich ist die Seitenhöhe von b bekannt, sie beträgt 3 cm. Berechne die Fläche des Dreiecks.
Zwar haben wir alle Seitenlängen gegeben, wir brauchen aber nur die Länge der Grundseite zur Berechnung. Da wir die Seitenhöhe von b kennen, nehmen wir Seite b als Grundseite. A = ½ · g · h A = ½ · 10 cm · 3 cm A = ½ · 30 cm² A = 15 cm² Das Dreieck besitzt einen Flächeninhalt von 15 cm².
Die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreieck haben die Seitenlängen a = 15 mm und b = 4 cm. Berechne die Fläche des Dreiecks.
Die beiden Katheten bilden bei einem rechtwinkligen Dreieck den rechten Winkel. Somit haben wir alle Werte, die wir für die Berechnung des Flächeninhalts benötigen. Achtung: Da die Maßeinheiten bei beiden Seiten unterschiedlich sind, rechnen wir zunächst die Länge von Seite a von Millimeter in Zentimeter um. Wir verwenden die Flächenformel für rechtwinklige Dreiecke: a = 15 mm = 1,5 cm A = ½ · a · b A = ½ · 1,5 cm · 4 cm A = ½ · 6 cm² A = 3 cm² Die Fläche des Dreiecks ist 3 cm² groß.
Natürlich kannst du die Flächenformeln auch umstellen, um z.B. eine Seitenhöhe oder eine Seitenlänge auszurechnen.
Für rechtwinklige Dreiecke:
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Das Wichtigste in Kürze: Eure meistgestellten Fragen habe wir hier zusammengetragen. Klick einfach auf das +, um die Antwort zu sehen. Die Summe der Innenwinkel beträgt bei jedem Dreieck 180°. Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. Diese beiden Seiten werden als Schenkel bezeichnet. Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang (a = b = c). Dementsprechend sind auch alle Innenwinkel gleich groß, sie betragen allesamt 60° (α = β = γ = 60°) Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen rechten Winkel, der also genau 90° groß ist. Für die Berechnung des Umfangs eines Dreiecks benötigst du die drei Seitenlängen. Die Formel lautet: U = a + b + b Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du mit einer Grundseite (g) und der dazugehörigen Höhe (h): A = ½ · g · h Für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks gilt eine gesonderte Formel: A = ½ · a · b (a und b = die Seiten, die den rechten Winkel bilden)
In der folgenden Box haben wir für dich die grundlegenden Formeln zur Kreisberechnung noch einmal zusammengefasst. Umfang: U = a + b + c Flächeninhalt: A = ½ · g · h Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck: A = ½ · a · b Wir hoffen diese Übersicht über das Thema konnte dir weiterhelfen. Falls noch Fragen oder Unklarheiten aufgekommen sein sollten, kannst du dich gerne bei uns melden. 😊 Teil uns gerne in einem Kommentar mit, ob wir dir weiterhelfen konnten! Wir freuen uns riesig über dein Feedback! 👍 |
Wie berechnet man die fehlende seite eines dreiecks
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