Wie berechnet man den Radius aus dem Flächeninhalt eines Kreises?

Was ist eigentlich ein Kreis? Per Definition ist es eine geometrische Figur, bei der alle Punkte den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben.

Ihr wisst sicher alle, wie ein Kreis aussieht. Anhand der nachfolgenden Abbildungen schauen wir uns den Kreis nochmal genauer an.

Abbildung Kreis mit Mittelpunkt

Der Mittelpunkt ist, wie der Name schon sagt, genau in der Mitte des Kreises. Der Abstand zwischen einem Punkt des Kreisrandes und dem Mittelpunkt wird als Radius bezeichnet.

Radius eines Kreises

Wenn du mit dem Zirkel einen Kreis zeichnest, stellst du als erstes einen bestimmten Radius ein. Die Spitze des Zirkels ergibt den Mittelpunkt während du mit der anderen Seite den Kreisrand bzw. die Kreislinie zeichnest. Die Größe dazwischen ist der Radius.

Abbildung Radius - vom Mittelpunkt zum Rand

Der Radius wird vom Mittelpunkt zum Rand gemessen. Der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und Kreisrand ist also überall gleich groß, wie es auch schon in der Definition des Kreises beschrieben wurde.

Merke

Der Radius ist Strecke zwischen dem Mittelpunkt und dem Kreisrand eines Kreises.

Kreisberechnung: Durchmesser berechnen

Abbildung Durchmesser

Der Durchmesser läuft von einem Punkt auf dem Rand zu dem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite. Dabei ist es wichtig, dass die Gerade durch den Mittelpunkt läuft.

Wie dir wahrscheinlich auffällt, ist der Durchmesser doppelt so groß wie der Radius. Es gilt also:$d=2\cdot r$ oder auch $r=0,5\cdot d$

Mit diesen Kreisformeln kannst du jeweils den Durchmesser berechnen, indem du ihn in den Radius umrechnest oder umgekehrt.

Merke

Der Durchmesser ist die Strecke zwischen zwei Randpunkten, die durch den Mittelpunkt geht.

Für das Verhältnis zwischen Durchmesser und Radius gilt folgender Zusammenhang: $d=2\cdot r$

Bevor man mit Kreisflächen arbeitet, sollte man sich erst einmal überlegen, was unter einer Kreisfläche zu verstehen ist:

Unter einer Kreisfläche versteht man die Menge aller Punkte einer Ebene, die innerhalb eines Kreises (bzw. seiner Kreislinie) liegt. Man nennt die Kreisfläche „abgeschlossen“, wenn die Kreislinie zur Fläche dazu gehört, andernfalls bezeichnet man sie als „offen“.

A = π * r2

ganz leicht die Kreisfläche berechnen.
Einfacher geht nicht. Verwendet man statt des Radius den Durchmesser des Kreises, dann wäre wegen des Zusammenhangs r = d/2 die dazugehörige Kreisflächen-Formel A = π/4 * d2.

Online Kreis-Rechner – Kreisumfang + Kreisfläche berechnen

Dieser Kreisrechner basiert auf dem Rechner für Kreise von Arndt Brünner.
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Herleitung der Kreisflächen Formel

Kreisflächen berechnen können ist das eine, verstehen wie es zu der Formel kommt das andere. Man kann die Herleitung bzw den Beweis auf verschiedene Arten führen. Zum Beispiel über das Integral einer Kreisfunktion, über eine Intervallschachtelung mit Vielecken a la Archimedes oder am anschaulichsten über das Zerlegen des Kreises in Teilstücke, die man dann in eine rechteckige Form einzubetten versucht. Siehe u.a. bei den Mathematischen Basteleien.

Das folgende Youtube Video zeigt die Variante mit dem Zerlegen des Kreises in Teilstücke.

Wer spielerisch die Entstehung der Formel zur Kreisflächenberechnung erleben möchte, der kann das mit Hilfe der genialen Geometrie Software GeoGebra tun. Die folgende interaktive App zeigt, wie eine Kreisfläche in Kreissektoren zerlegt wird und die Einzelteile dann am Umfang abgewickelt und geschickt umarrangiert werden.

Ihr müsst einfach mal mit den drei horizontalen Reglern rumspielen. Dann seht ihr, wie sich der Kreis abwickelt, die Sektoren immer feiner werden und am Ende sich alles zu einer rechteckigen Fläche verzahnt – schöner kann man die Transformation von Kreisfläche zu Rechteck kaum darstellen.

Mit zunehmender Unterteilung passt sich die Fläche immer mehr der Fläche eines Rechtecks mit der Höhe des Kreisradius und der halben Länge des Kreisumfangs an. Bekanntlich ist die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks Höhe mal Breite – hieraus ergibt sich dann für die assoziierte Kreisfläche r*π*r – und damit die gesuchte Kreisflächenformel.

Hinweis zu Bildrechten: Wikipedia (der GNU-Lizenz für freie Dokumentation) – Ein Kreis mit Mittelpunkt, Radius und Durchmesser – @ Sven

Radius Durchmesser Umfang Flächeninhalt