Doch wie berechnet man das Volumen eines Prismas jetzt genau? Schau dir an zwei Beispielen die Berechnung des Prisma Volumens an. Show Beispiel 1 Zuerst untersuchen wir das Volumen bei einem dreiseitigen Prisma. Seine Grundfläche ist ein Dreieck .  Die allgemeine Formel für das Prisma Volumen lautet V = G · h. Damit kannst du auch das Volumen vom Dreiecksprisma in unserem Beispiel bestimmen. Es ist ein Prisma mit Höhe hP = 8 cm und einem Dreieck als Grundfläche gegeben. Das Dreieck hat die Seitenlänge a = 7 cm und die dazugehörige Höhe ha = 5 cm.
G = ½ · a · ha
G = ½ · 7 cm · 5 cm = 17,5 cm2
V = G · hP
V = 17,5 cm2 · 8 cm = 140 cm3 Insgesamt beträgt das dreiseitige Prisma Volumen V = 140 cm³. Den gleichen Ablauf kannst du für jedes Dreiecksprisma Volumen benutzen. Beispiel 2 Du kannst aber auch das Volumen von Prismen berechnen, die als Grundfläche kein Dreieck haben. Im zweiten Beispiel ist die Grundfläche vom Prisma ein Trapez . Es heißt deshalb Trapezprisma. Schritt für Schritt kannst du auch das Volumen vom Trapez Prisma berechnen. Dafür sind die Seitenlängen a = 5 cm und c = 11 cm, sowie die Höhe der Grundfläche hT = 6 cm und die Höhe vom Prisma hP = 7 cm gegeben.
G = ½ · (a + c) · hT
G = ½ · (5 cm + 11 cm) · 6 cm = ½ · 16 cm · 6 cm = 48 cm2
V = G · hP
V = 48 cm2 · 7 cm = 336 cm3 Das Prisma Volumen im Beispiel beträgt insgesamt V = 336 cm³. Um das Volumen eines Prismas zu berechnen, musst du immer zuerst die Grundform erkennen. Deshalb sind die Prisma Formeln so allgemein. Das Prisma ist ein geometrischer Körper. Wie auch bei anderen Körpern kannst das Volumen eines Prismas berechnet werden. Welche Formeln Du dafür benötigst, erfährst Du in diesem Artikel. Ein Prisma entsteht, wenn ein n-Eck entlang einer geraden Linie verschoben wird.
Die Fläche, auf der das Prisma steht, wird Grundfläche genannt. Die Fläche, die das Prisma nach oben hin begrenzt, heißt Deckfläche. Unter dem Mantel eines Prismas versteht man die n Seitenflächen. Manchmal werden Prismen auch so abgebildet, dass sie nicht auf ihrer Grundfläche stehen, sondern auf einer ihrer Seitenflächen. Die Seiten der Grundfläche und der Deckfläche werden Grundkanten genannt. Die Strecken, die jeweils zwei zusammen gehörige Eckpunkte von Grund- und Deckfläche verbinden, werden Mantellinien genannt. Alle Mantellinien sind gleich lang und parallel zueinander. Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der sich aus einer Grundfläche, einer Deckfläche und einem Mantel zusammensetzt.
Formel zur Volumenberechnung eines PrismasDiese allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas gilt für gerade, schiefe, regelmäßige und nicht regelmäßige Prismen. Das Volumen eines Prismas wird berechnet, indem die Grundfläche G mit der Höhe h multipliziert wird: VPrisma=G·h. Die Grundfläche G kann bei einem Prisma unterschiedliche Formen annehmen, wie zum Beispiel Dreieck, Trapez, Quadrat oder Rechteck. Deswegen musst Du immer darauf achten, die richtige Grundflächenformel einzusetzen. Mit der Höhe h eines Prismas wird der Abstand zwischen Grund- und die Deckfläche bezeichnet.
Dies trifft auf gerade Prismen zu (links in Abbildung 2). Die Höhe h entspricht gleichzeitig der Mantellänge. Bei einem schiefen Prisma (rechts in Abbildung 2) hingegen entspricht die Höhe des Prismas dem Abstand der Deckfläche zur Ebene der Grundfläche. Die beiden Prismen in Abbildung 2 haben das gleiche Volumen. Dies kann mit dem Prinzip von Cavalieri begründet werden. Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper mit gleicher Höhe das gleiche Volumen haben, wenn jede zur Grundebene parallel verlaufende Ebene beide Körper in gleich großen Flächen schneidet. Das Volumen von zwei Prismen ist also gleich, wenn ihre Grundflächen gleich groß sind und wenn sie gleich hoch sind. In diesem Abschnitt findest Du verschiedene Beispielaufgaben, in denen das Volumen unterschiedlicher Prismen berechnet wird. Volumen eines dreiseitigen PrismasIm ersten Beispiel wird das Volumen eines Prismas berechnet, das ein Dreieck als Grundfläche hat. Aufgabe Gegeben ist ein gerades Prisma mit dem Dreieck ABC als Grundfläche und der Höhe h=7 cm. Das Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a=3 cm, b=4 cmund c=5 cm.
Berechne das Volumen des Prismas. Lösung Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche das rechtwinklige Dreieck ABC. Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ist: ADreieck=(12·a·b)=(12·3 cm·4cm)=6 cm2 Bei einem nicht rechtwinkligen Dreieck musst Du die Formel ADreieck=12·g·h verwenden. Damit ergibt sich das Volumen des Prismas: VPrisma=G·h=ADreieck·h=6 cm2·7cm=42 cm3 Das Volumen des Prismas beträgt 42 cm3. Vierseitige Prismen können zum Beispiel ein Parallelogramm, ein Rechteck oder ein Quadrat als Grundfläche haben. Im nächsten Beispiel hat das Prisma ein Parallelogramm als Grundfläche. Aufgabe Gegeben ist ein schiefes Prisma mit dem Parallelogramm ABCD als Grundfläche und der Höhe h=6 cm. Alle weiteren Daten, die Du brauchst, kannst Du aus der Zeichnung ablesen. Ein Kästchen steht jeweils für einen Zentimeter.
Berechne das Volumen des Prismas. Lösung Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche ein Parallelogramm. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist: AParallelogramm=g·hParallelogramm=4 cm·3 cm=12 cm2 Damit ergibt sich das Volumen des Prismas: VPrisma=G·h=AParallelogramm·h=12 cm2·6 cm=72 cm3 Das Volumen des Prismas beträgt 72 cm3. In der nächsten Aufgabe wird das Volumen eines Prismas berechnet, dessen Grundfläche ein Rechteck ist. Aufgabe Gegeben ist ein gerades Prisma, dessen Grundfläche ein Rechteck ist. Die Höhe des Prismas beträgt h=8 cm. Die Seitenlängen des Rechtecks sind a=4 cm und b=3 cm.
Berechne das Volumen des Prismas. Lösung Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche ein Rechteck. Dies ist ein Sonderfall, da es sich bei diesem Prisma um einen Quader handelt. Das Volumen dieses Prismas kann daher auch mit der Volumenformel des Quaders berechnet werden: VQuader=a·b·c. In diesem Fall wird die Seitenlänge c des Quaders als Höhe h des Prismas bezeichnet. Damit ergibt sich Folgendes für das Volumen des Prismas: VPrisma=VQuader=a·b·h=4 cm·3 cm·8 cm=96 cm3 Das Volumen des Prismas beträgt 96 cm3. Das nächste vierseitige Prisma hat ein Quadrat als Grundfläche. Aufgabe Gegeben ist ein quadratisches Prisma. Die Seitenlänge des Quadrats ist a=3 cm. Die Höhe des Prismas ist h=6 cm.
Berechne das Volumen des quadratischen Prismas. Lösung Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche ein Quadrat. Auch hier handelt es sich wieder um einen Spezialfall, da es sich bei diesem Prisma um einen Quader handelt. Das Volumen dieses speziellen Prismas kann also auch mit der Volumenformel des Quaders berechnet werden. Für das Volumen des Prismas ergibt sich Folgendes: VQuader=VPrisma=a·a·h=3 cm·3 cm·6 cm=54 cm3 Das Volumen des Prismas beträgt 54 cm3. Ein weiterer Spezialfall wäre es, wenn die Höhe eines quadratischen Prismas den Seitenlängen des Quadrats entspricht a=hPrisma. Dann ist das Prisma ein Würfel:
Im letzten Beispiel wird ein sechsseitiges reguläres Prisma betrachtet. Ein reguläres Prisma ist ein gerades Prisma, das ein regelmäßiges Vieleck als Grundfläche hat. Ein regelmäßiges Vieleck ist ein Vieleck, bei dem alle Seitenlängen gleich lang sind und alle Innenwinkel gleich groß. Aufgabe Gegeben ist ein sechsseitiges reguläres Prisma. Die Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks beträgt a=2 cm. Die Höhe des Prismas ist h=10 cm.
Berechne das Volumen des sechseckigen Prismas. Lösung Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck. Der Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks berechnet sich durch: ASechseck=3·32·a2=3·32·(2 cm)2 =63 ≈10,4 cm2 Daraus ergibt sich das Volumen des Prismas: VPrisma=G·h=ASechseck·h=10,4 cm2·10 cm=104 cm3 Das Volumen des Prismas beträgt ca. 104 cm3. Volumen von Prismen — Das Wichtigste
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Wie berechne ich das volumen eines prismas
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