Wie viele Extremstellen hat eine Funktion n Grades

Question

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Autor: Dr. Hannelore Dittmar-Ilgen

Kann man einer Funktion eigentlich ansehen, wie viele Wendepunkte sie haben wird? Bei Polynomen gibt es Regeln für die maximale Anzahl, andere Funktionen müssen Sie untersuchen.

Am Wendepunkt?

Die bekanntesten Funktionen sind ganzrationale Funktionen bzw. Polynomfunktionen, die sich aus Potenzfunktionen zusammensetzen. Die höchste Potenz gibt den Grad des Polynoms an. Ein Beispiel für solch eine Funktion ist dieses Polynom 3. Grades: f(x) = 2x³ - 5x² + 7.
Für die Berechnung von Wendepunkten ist die zweite Ableitung f''(x) einer Funktion zuständig. Die Nullstellen dieser zweiten Ableitung sind mögliche x-Werte des Wendepunktes (falls es sich in Ausnahmefällen nicht um Sattelpunkte handelt).
Wollen Sie also herausfinden, wie viele Wendepunkte ein Polynom hat, müssen Sie das Polynom zweimal ableiten und diese Funktion auf Nullstellen untersuchen. Hat das Polynom den Grad n, dann hat die zweite Ableitung den Grad n-2. Der Grad bestimmt die maximale Anzahl der Nullstellen, in diesem Fall also n-2. So kann ein Polynom n-ten Grades also maximal n-2 Wendepunkte haben (jedoch auch weniger!).
Im obigen Beispiel hat die zweite Ableitung den Grad 1, ist also eine lineare Funktion. Diese hat eine Nullstelle. Ein Polynom 3. Grades hat also einen Wendepunkt (Sonderfall: f(x) = x³; dort haben Sie bei x = 0 einen Sattelpunkt).

Leider kann man für alle anderen möglichen Funktionen keine solch einfache, allgemeine Regel aufstellen, wie dies für ganzrationale Funktionen der Fall war. Aber es gibt Hinweise.
Winkelfunktionen wie f(x) = sin x (und deren Erweiterungen) sind periodisch. Hier können Sie (beschränkt man sich nicht auf einen endlichen Definitionsbereich) unendlich viele Wendepunkte berechnen, da sich der Funktionsverlauf ständig wiederholt.
Die Exponentialfunktion f(x) = ex sowie deren Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus f(x) = ln x, haben keine Wendepunkte, da beide Funktionen ständig anwachsen.
Auch die Wurzelfunktion f(x) = Wurzel (x) hat als Umkehrfunktion der Parabel keinen Wendepunkt.
Sog. gebrochen rationale Funktionen der Form f(x) = g(x)/h(x), wobei g(x) und h(x) Polynome sind, müssen Sie mit der zweiten Ableitung auf Wendepunkte untersuchen. Allgemeine Regeln, wie viele Wendepunkte hier vorliegen, gibt es nicht.
Seien Sie auch vorsichtig bei zusammengesetzten Funktionen wie zum Beispiel f(x) = -x² * ex oder f(x) = ln x/(x-1). Auch diese müssen mithilfe der zweiten Ableitung untersucht werden.

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Das kannst Du Dir selbst überlegen: Wenn Du ein Polynom fünften Grades ableitest, erhältst Du ein Polynom vierten Grades. Dieses hat maximal vier Nullstellen, ergo hat Dein ursprüngliches Polynom fünften Grades maximal vier Extremstellen.

max. 5 Nullstellen, 4 Extremstellen, und 3 Wendepunkte

Da die Notwendige Bedingung f'(x)=0 ist kann sie maximal 4 Extremstellen haben!

5 wenn ich mich richtig erinnere...

Maximale Anzahl der Extremstellen = Grad der Funktion minus 1

Formeln

Ein Polynom ist die Summe von mehreren Parteifunktionen. Der Grad der Polynomfunktion „n“ entspricht der höchsten vorkommenden Potenz von der Variablen x. Alle Polynomfunktionen verlaufen durch den Punkt \(P\left( {0\left| {{a_0}} \right.} \right)\). Der Definitionsbereich von Polynomfunktionen ist nicht eingeschränkt, daher gilt: \(D = {\Bbb R}\). Polynomfunktionen werden auch ganzrationale Funktionen genannt.

\(f\left( x \right) = {a_n} \cdot {x^n} + {a_{n - 1}} \cdot {x^{n - 1}} + ... + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)

\(f\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i} \cdot {x^i}} \)

\(f\left( x \right) = c \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - {x_n}} \right){\text{ wobei }}{{\text{x}}_n}{\text{ die n Nullstellen sind}}\)

wobei:

\(\eqalign{ & {a_n},{a_{n - 1}},...,{a_1},{a_0} \cr & n \in N;\,\,\,\,\,{a_i} \in {\Bbb R};\,\,\,\,\,{a_n} \ne 0 \cr} \)	Koeffizienten
ai	i-ter Koeffizient
n	höchste Potenz
\({a_2} \cdot {x^2}\)	quadratisches Glied
\({a_1} \cdot x\)	lineares Glied
\({a_0}\)	konstantes Glied

Die wichtigsten Polynomfunktionen:

n=0:
konstante Funktion
\(f\left( x \right) = {a_0}\)

0 oder bei f(x)== unendlich viele Nullstellen
0 Extremstellen
0 Wendestellen
Typischer Graph verläuft parallel zur x-Achse

n=1:
lineare Funktion
\(f\left( x \right) = {a_1} \cdot x + {a_0} = k \cdot x + d\)

1 Nullstelle
0 Extremstellen
0 Wendestellen
Typischer Graph ist eine Gerade, welche die x und die y-Achse schneidet

n=2:
quadratische Funktion bzw. Parabel
\(f\left( x \right) = {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0} = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)

0, 1 oder 2 Nullstellen
1 Extremstelle, bei: \(x = - \dfrac{{{a_1}}}{{2{a_2}}}{\text{ für }}{{\text{a}}_2} \ne 0\)
0 Wendestelle
Typischer Graph ist eine Parabel

Die quadratische Funktion setzt sich aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied zusammen.

a > 0 → Graph noch oben offen (U-förmig), d.h. der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt
a < 0 → Graph nach unten offen, d.h. der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt
Der Faktor b bewirkt eine Schiebung in x und y-Richtung.
b = 0 → Der Scheitelpunkt der Parabel liegt auf der y-Achse. Wo auf der y-Achse der Scheitelpunkt liegt, hängt dann nur von c ab
b = 0 und c = 0 → Scheitelpunkt der Parabel liegt im Ursprung vom Koordinatensystem
Der Faktor c bewirkt ausschließlich eine Verschiebung noch oben (c>0) oder nach unten (c<0)

n=3:
kubische Funktion
\(f(x) = {a_3} \cdot {x^3} + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)

1, 2 oder 3 Nullstellen
0 oder 2 Extremstellen
1 Wendestelle
Typischer Graph verläuft s-förmig

n=4:
\(f(x) = {a_4} \cdot {x^4} + {a_3} \cdot {x^3} + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)

0 .. 4 Nullstellen
1 oder 3 Extremstellen
0 oder 2 Wendestellen
Typischer Graph verläuft w-förmig

Nullstellen: Maximale Anzahl der Nullstellen = Grad der Funktion.

Wenn „n“ ungerade ist, dann haben sie mindestens eine Lösung in \({\Bbb R}\)

Extremstellen: Maximale Anzahl der Extremstellen = Grad der Funktion n minus 1

Wendepunkte: Maximale Anzahl der Wendepunkte = Grad der Funktion n minus 2

\(n \geqslant 3\) und n gerade: 0, 2, 4,.. Wendestellen
\(n \geqslant 3\) und n ungerade: mindestens 1 Wendestelle

konstantes Glied: Das konstante Glied erhält man immer an der Stelle x=0. Daher kann man es aus einem Graph auf der y-Achse (\(P\left( {0\left| {{a_n}} \right.} \right)\)) direkt ablesen.