Was ist die Definitionsmenge einfach erklärt?

Mathematischer Grundbegriff

Der Definitionsbereich Df einer Funktion f(x) ist die Menge aller x∈ℝ, für die die Funktion gebildet werden kann.

Kurz: Alle x, die man in die Funktion einsetzen darf.

a) Nenner ≠ Null

b) Radikant R einer Quadratwurzel ≥ Null (d.h. R⇒R≥0)

c) Argument g eines Logarithmus > Null (d.h. lng(x)⇒g(x)>0)

Beispiele:

f(x)=1x-1,  Df=ℝ\{1}

g(x)=x-2,  Dg=[2,∞]

h(x)=ln(x-3),  Dh=]3,∞[

Musteraufgaben zum Thema Definitionsbereich:

Die Definitionsmenge gibt an, welche Werte (Zahlen) man in die Funktion (für das x) einsetzen darf. Alle diese Zahlen, die man für x einsetzen darf, sind dann die Definitionsmenge.

Möchtet ihr nun die Definitionsmenge „herausfinden“, guckt ihr, welche Zahlen man nicht einsetzen darf. Es darf nämlich keine…:

• … Null im Nenner stehen.
• … negative Zahl unter der Wurzel stehen.
• … negative Zahl (oder die Null) logarithmiert werden.

Die Zahlen, bei denen eines der beiden Fälle zutrifft, sind nicht in der Definitionsmenge. Sonst darf man alle Zahlen in die Definitionsmenge einsetzen.

Die Definitionsmenge dieser Funktion bestimmt ihr, indem ihr überlegt, was ihr alles für x einsetzen dürft. Hier dürft ihr ja alles einsetzen, außer die Null, denn man darf ja nicht durch 0 Teilen!

Geht genauso vor wie oben, welche Zahlen dürft ihr für x einsetzen? Alle außer -1, da ihr schließlich nicht durch 0 teilen dürft.

Hie dürft ihr ja alle positiven Zahlen und die Null einsetzen, negative ja nicht, da man davon nicht die Wurzel ziehen kann.

Die Wertemenge gibt an, was alles für y, bzw. f(x), rauskommen kann, wenn man jede Zahl aus der Definitionsmenge in die Funktion (für x) eingesetzt hat. Auch hier guckt man am besten, was nicht rauskommen kann, achtet dabei vor allem auf Folgendes:

• Wird x mit einer geraden Zahl potenziert, können nur positive Zahlen (und die 0) rauskommen (z.B. hoch 2).
• Wird die Wurzel von x gezogen, kann ebenfalls nur etwas Positives (oder die 0) rauskommen (wenn der Wurzelexponent gerade ist, z.B. die 2. Wurzel).
• Ist x im Nenner eines Bruches, bei dem der Zähler nicht 0 werden kann, dann kann die 0 nicht in der Wertemenge sein, da die Funktion dann nie 0 wird.
• Für Cosinus und Sinus können nur Werte zwischen -1 und 1 rauskommen.
• Ist x im Exponenten kann (bei positiver Basis) nur was Positives rauskommen. Also keine negativen Werte oder die 0.

Überlegt euch, welche Zahlen rauskommen können, wenn ihr die Definitionsmenge einsetzt. Hier dürft ihr ja alle Zahlen außer die 0 einsetzen. Also kann auch alles rauskommen, außer die 0, da 1 geteilt durch irgendetwas nie null sein kann!

Hier genauso wie oben, was kann da alles rauskommen? Und es kann ja alles rauskommen, außer die Null, da wenn man durch 2 teilt, kann niemals Null rauskommen.

Hier kann ja alles Positive und die Null rauskommen, da wenn man die Wurzel zieht, nichts Negatives rauskommen kann.

Bei dieser Funktion kann auch alles Positive und die Null rauskommen, da wenn man etwas quadriert, das Ergebnis nie negativ sein kann.

Hier findet ihr Übungsaufgaben und Spickzettel zu diesem Thema:

Arbeitsblätter zur Definitions- und Wertemenge

Bei e-Funktionen , wie z. B.

e-Funktion

In e-Funktionen darfst du jede beliebige Zahl einsetzten. Es gilt also:

Bei der Umkehrfunktion der e-Funktion, der ln-Funktion , ist es nicht mehr ganz so einfach. Es gilt die Regel:

 Bei negativen Zahlen oder der 0 darfst du den ln nicht anwenden!

Das bedeutet für dich, dass nur positive Zahlen in der Klammer des ln stehen dürfen! Vielleicht erinnert dich das ein bisschen an die Wurzelfunktion. Der einzige Unterschied: hier ist auch die 0 ist nicht erlaubt!

Schau dir das direkt wieder an einem Beispiel an.

Du sollst die Definitionsmenge dieser Funktion bestimmen:

f(x) = ln(x2-x-2)

Gehe wie folgt vor:

1. Zuerst musst du herausfinden, wann die innere Funktion x2-x-2 nicht positiv ist. Löse dazu die Ungleichung x2-x-2 ≤ 0. Am einfachsten geht das, indem du den Graphen der inneren Funktion zeichnest:
   
   

   direkt ins Video springen

   Graph der Innenfunktion

   Jetzt kannst du ganz einfach ablesen, dass die innere Funktion zwischen -1 und 2 negativ ist, und bei x = -1 und x = 2 gleich 0. Das gesamte Intervall, in dem der Term ≤ 0 ist, kannst du so angeben: [-1,2]. Die eckigen Klammern bedeuten, dass auch die -1 und die 2 in dem Intervall beinhaltet sind.

2. Aus der Definitionsmenge musst du jedes Intervall ausschließen, in dem die innere Funktion negativ oder 0 ist. Deshalb ergibt sich:
   
   \ [-1,2]

Die Definitionslücke von -1 bis 2 kannst du auch am Graphen sehen:

direkt ins Video springen

Allgemein kannst du bei ln-Funktionen also so vorgehen:

ln-Funktion

1. Löse die Ungleichung ’innere Funktion ≤ 0’. Dadurch findest du ein odere mehrere Intervalle, indem die innere Funktion negativ oder null ist.
2. Gib die Definitionsmenge an.

      

   

Super, jetzt musst du dir nur noch einen Funktionstypen anschauen: