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Verteilungsfunktionen der Zufallsvariable x werden F(x) gekennzeichnet. Sie geben an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Zufallsvariable einen Wert gleich oder kleiner als x annimmt. Verteilungsfunktionen müssen Werte zwischen 0 und 1 annehmen und monoton steigend sein, d.h. sie gehen immer nach oben oder bleiben auf der gleich Höhe. WahrscheinlichkeitsfunktionenBei diskreten Verteilungen kann anstelle der Verteilungsfunktion auch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion angegeben werden (Notation: Pr(X=x)). Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable den Wert x annimmt. DichtefunktionenBei stetigen Verteilungen kann eine Dichtefunktion (Notation: f(x)) angegeben werden. Sie ist das Analogon zur Wahrscheinlichkeitsfunktion bei diskreten Wahrscheinlichkeiten. Allerdings können ihre Werte nicht als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden. Schließlich ist die Wahrscheinlichkeit das eine Maschine nach genau 5,4646645464... ausfällt immer null. Bei Dichtefunktionen müssen alle Werte positiv sein, es können aber durchaus Werte größer als 1 auftreten. Notwendig ist, dass das Integral über den gesamten Definitionsbereich der Funktion 1 ergibt. Das Integral der Dichtefunktion ist die Verteilungsfunktion.
1.) 2.) 3.) Beispiel M�nzwurf: Wahrscheinlichkeit Kopf: P(Kopf)=0,5 Wahrscheinlichkeit Zahl: P(Zahl)=0,5 Bei einem M�nzwurf kann nur entweder Kopf oder Zahl geworfen werden, die beiden Ereignisse treten nie gleichzeitg auf. Die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu werfen ist P(Kopf oder Zahl)= 0,5+0,5=1 --> Sicheres Ereignis, was soll sonst passieren? VerteilungenH�ufig ist es nicht gew�nscht oder m�glich, f�r jedes m�gliche Ereignis eine Wahrscheinlichkeit anzugeben. Stattdessen werden die Zufallsprozesse durch funktionale Zusammenh�nge beschrieben. Hierbei sind verschiedene Darstellungsarten m�glich (Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeits- oder Dichtefunktion). Es gibt verschiedene Arten von Verteilungen, die Parameter und Zufallsvariablen besitzen, die auf eine bestimmte Weise verkn�pft werden. Beispiel: Grunds�tzlich wird zwischen diskreten und stetigen Verteilungen unterschieden. Diskret bedeutet, dass die Zufallsvariable nur endliche viele Werte oder abz�hlbar unendlich viele Werte annehmen kann. D.h. es k�nnte jedem denkbaren Ereignis eine nat�rliche Zahl zugeordnet werden. Beim mehrmaligen W�rfeln wird zum Beispiel immer nur eine bestimmte Anzahl an Sechsern gew�rfelt, halbes W�rfeln gibt es nicht. Dasselbe gilt f�r Anzahl der Personen in einem Raum, zerschnittene Personen gibt es nur in Zauberkunstvorf�hrungen. In fast allen F�llen ist es von daher wenig sinnvoll, der Verteilung der "Anzahl der Personen im Raum" eine stetige Verteilung zugrunde zu legen. Bei stetigen Verteilungen ist die Anzahl der Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann, unendlich. Beispiel: Zeit bis zum Ausfall einer Maschine. Hier kann nicht eine genau bestimmte Anzahl m�glicher Zeitpunkte angegeben werden, denn auch zwischen zwei Millisekunden liegen noch unendlich viele Zeitpunkte. Geld ist (ann�hernd) stetig. Zwar ist die kleinste Einheit "Cent", in fast allen F�llen wird es aber vertretbar sein, z.B die Verteilung "Einnahmen am Ende eines Gesch�ftstages" so zu beschreiben, als g�be es auch Bruchteile von Cent. VerteilungsfunktionenVerteilungsfunktionen der Zufallsvariable x werden F(x) gekennzeichnet. Sie geben an, wie gro� die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Zufallsvariable einen Wert gleich oder kleiner als x annimmt. Verteilungsfunktionen m�ssen Werte zwischen 0 und 1 annehmen und monoton steigend sein, d.h. sie gehen immer nach oben oder bleiben auf der gleich H�he. WahrscheinlichkeitsfunktionenBei diskreten Verteilungen kann anstelle der Verteilungsfunktion auch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion angegeben werden (Notation: Pr(X=x)). Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable den Wert x annimmt. DichtefunktionenBei stetigen Verteilungen kann eine Dichtefunktion (Notation: f(x)) angegeben werden. Sie ist das Analogon zur Wahrscheinlichkeitsfunktion bei diskreten Wahrscheinlichkeiten. Allerdings k�nnen ihre Werte nicht als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden. Schlie�lich ist die Wahrscheinlichkeit das eine Maschine nach genau 5,4646645464... ausf�llt immer null. Bei Dichtefunktionen m�ssen alle Werte positiv sein, es k�nnen aber durchaus Werte gr��er als 1 auftreten. Notwendig ist, dass das Integral �ber den gesamten Definitionsbereich der Funktion 1 ergibt. Das Integral der Dichtefunktion ist die Verteilungsfunktion.
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Soweit ist das ja alles sehr einfach, oder? Aber wie berechnet man nun die Wahrscheinlichkeit, dass der Läufer zum Beispiel zwischen 11 und 12 Sekunden braucht? Auch das ist keine Hexerei. Du ziehst einfach den Funktionswert der Verteilungsfunktion an der Stelle x gleich elf von dem Funktionswert an der Stelle x gleich zwölf ab. Das wird besonders deutlich, wenn du dir das Ganze graphisch unter der Dichtefunktion vorstellst. Berechnung der Wahrscheinlichkeit innerhalb eines IntervallsSetzten wir unsere Werte ein, so erhalten wir:
Lesen wir nun die Werte aus der Tabelle der Standardnormalverteilung ab:
Somit wissen wir, dass der Läufer die Strecke von 100m mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 9,2% in 11 bis 12 Sekunden bewältigt. |