Als Losgröße bezeichnet man im Rahmen der Industriebetriebslehre und der Produktionswirtschaft die Menge von Produkten eines Fertigungsauftrages im Falle einer Losfertigung, die die Stufen des Fertigungsprozesses als geschlossener Posten durchlaufen.
In die Modellierung entsprechender Losgrößenprobleme können mehrere für die Praxis relevante Parameter einfließen:[1]
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Bei den statischen Losgrößenverfahren wird die Losgröße ausschließlich anhand von Mengenvorgaben aus dem jeweiligen Materialstammsatz gebildet. Es gibt unterschiedliche Kriterien, nach denen die Losgröße berechnet werden kann: Exakte Losgröße Feste Losgröße Auffüllen bis zum Höchstbestand Bestellpunktdisposition mit oder ohne Berücksichtigung externer Bedarfe
Bei den periodischen Losgrößenverfahren werden die Bedarfsmengen einer oder mehrerer Perioden zu einer Losgröße zusammengefasst. Die Anzahl der Perioden, die zu einem Bestellvorschlag zusammengefasst werden sollen, kann man beliebig festlegen. Man unterscheidet: Tageslosgröße Wochenlosgröße Monatslosgröße Losgrößen nach flexiblen Periodenlängen, analog zu Buchhaltungsperioden (Periodenlosgrößen)
Bei den optimierenden Losgrößenverfahren werden Bedarfsmengen mehrerer Perioden zu einer Losgröße zusammengefasst, wobei zwischen losgrößenfixen Kosten und Lagerhaltungskosten ein Kostenoptimum ermittelt wird. Die verschiedenen Optimierungsverfahren unterscheiden sich nur in der Art des Kostenminimums. Diesen Modellen ist gemein, dass die Nachfrage konstant (statisch) und vorab bekannt (deterministisch) ist. Grundmodell ist das unkapazitierte, einstufige, Einproduktmodell mit unendlicher Produktionsgeschwindigkeit. Für die Details des Grundmodells siehe Klassische Losformel. Endliche ProduktionsgeschwindigkeitAls Kosten je Zeiteinheit ergeben sich[2] K ( τ ) = f τ + 1 2 l m a x c {\displaystyle K(\tau )={\frac {f}{\tau }}+{\frac {1}{2}}l_{\mathrm {max} }c}mit
Als Kosten ergeben sich somit K ( τ ) = f τ + 1 2 b ( 1 − ρ ) τ c {\displaystyle K(\tau )={\frac {f}{\tau }}+{\frac {1}{2}}b(1-\rho )\tau c} bzw. K ( q ) = f b q + 1 2 q ( 1 − ρ ) c {\displaystyle K(q)={\frac {fb}{q}}+{\frac {1}{2}}q(1-\rho )c} . Durch ableiten und Nullsetzen erhält man die optimalen Größen q ∗ = 2 b f c ( 1 − ρ ) {\displaystyle q^{*}={\sqrt {\frac {2bf}{c(1-\rho )}}}} bzw. τ ∗ = 2 f c ( 1 − ρ ) b {\displaystyle \tau ^{*}={\sqrt {\frac {2f}{c(1-\rho )b}}}} . Weitere Verallgemeinerungen
Statisch-deterministische Modelle (mehrere Produkte)Für den Fall, dass keine Kopplung zwischen den Produkten existiert, ergibt sich die optimale Bestellpolitik aus der separaten Anwendung des Standardmodells auf die einzelnen Produkte. Kopplungen ergeben sich beispielsweise durch Lose aus verschiedenen Produkten für die die losfixen Kosten nur einmal anfallen. Analog ist das Bestellmengenmodell mit Sammelbestellungen bei dem für die Sammelbestellung nur einmal die Bestellfixen Kosten anfallen. Außerdem existieren Modelle mit Lagerkapazitätsbeschränkungen und Modelle bei denen alle Produkte auf einer Engpassmaschine zu fertigen sind.[3] Letzteres ist als Problem optimaler Sortenschaltung bekannt.[4] BeispielmodellEin einfaches Modell mit Kapazitätsbeschränkung sieht wie folgt aus:[5]
Die Zielfunktion ist min K ( q ) = ∑ j = 1 n ( b j / q j f j + 0 , 5 c j q j ) {\displaystyle \min K(q)=\sum _{j=1}^{n}(b_{j}/q_{j}f_{j}+0{,}5c_{j}q_{j})}Unter den Nebenbedingungen ∑ j = 1 n q j k j ≦ κ {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}q_{j}k_{j}\leqq \kappa }Im ungünstigsten Fall werden alle Lose zeitgleich aufgelegt. Die Summe der noch zu bestimmenden Losgrößen muss also kleiner oder gleich der Lagerkapazität κ {\displaystyle \kappa } sein. q j > 0 {\displaystyle q_{j}>0}Lösung des ModellsVernachlässigt man die Lagerkapazität und wendet für jedes Produkt die Formel des Standardmodells an, so erhält man als optimale Losgröße bzw. optimale Zyklusdauer: Falls die Kapazitätsrestriktion erfüllt ist, hat man die optimale Lösung gefunden. Falls nicht so gilt: ∑ j = 1 n q j k j = κ {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}q_{j}k_{j}=\kappa }Die Lagerkapazität wird also vollständig genutzt. Die optimale Losgröße ergibt sich durch Lagrange-Multiplikation mit der Kapazitätsrestriktion: L ( q , λ ) = ∑ j = 1 n ( b j / q j f j + 0 , 5 c j q j ) + λ ( ∑ j = 1 n q j k j − κ ) {\displaystyle L(q,\lambda )=\sum _{j=1}^{n}(b_{j}/q_{j}f_{j}+0{,}5c_{j}q_{j})+\lambda \left(\sum _{j=1}^{n}q_{j}k_{j}-\kappa \right)}Leitet man nun nach q 1 , q 2 , … , q n {\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}} und λ {\displaystyle \lambda } ab, so erhält man ein Gleichungssystem mit n+1 Gleichungen und Unbekannten. Man erhält q j ∗ = 2 b j f j c j + 2 λ k j {\displaystyle q_{j}^{*}={\sqrt {\frac {2b_{j}f_{j}}{c_{j}+2\lambda k_{j}}}}}die optimalen Loßgrößen in Abhängigkeit von λ {\displaystyle \lambda } . Diese kann man in die partiellen Ableitungen einsetzen und erhält eine streng monotone Funktion die an einer Stelle den Wert κ {\displaystyle \kappa } annimmt: ∑ j = 1 n k j 2 b j f j c j + 2 λ k j = κ {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}k_{j}{\sqrt {\frac {2b_{j}f_{j}}{c_{j}+2\lambda k_{j}}}}=\kappa }Diese Stelle lässt sich mit iterativen Verfahren wie dem Newton-Verfahren bestimmen. Statisch-deterministische Modelle mit mehrstufiger ProduktionBei mehrstufiger Produktion sind nicht nur für jedes Produkt, sondern auch für jede Produktionsstufe Loßgrößen zu bilden. Die Ausgestaltung eines konkreten Problems hängt stark von der Produktstruktur ab. Bei konvergierender Struktur werden mehrere Einzelteile zu einem Gesamtprodukt zusammengefügt. Bei divergierender Struktur werden aus einem Zwischenprodukt verschiedene Endprodukte hergestellt. Mischungen können ebenfalls vorkommen.[6] Dynamisch-deterministische Modelle→ Hauptartikel: Dynamische Losgrößenermittlung Bei dynamisch-deterministischen Modellen wird der Planungszeitraum in endlich viele, gleich lange Perioden unterteilt, während die statisch-deterministischen Modelle in der Regel von einem unendlich langen Planungszeitraum ausgehen. Das Grundmodell von Wagner und Whitin, teilweise auch Wagner-Whitin-Modell genannt, behandelt nur ein Produkt, mit nur einer Produktionsstufe, ohne Kapazitätsgrenzen. Es lässt sich mit der dynamischen Optimierung lösen. Es lässt sich als Warehouse Location Problem interpretieren: Die Eröffnung eines Standortes entspricht dann der Auflage eines Loßes und die Kunden entsprechen den einzelnen Perioden. Der Wagner-Whitin-Algorithmus liefert ein optimales Ergebnis. Außerdem existieren noch einige Heuristiken:[7]
Stochastische ModelleStochastische Modelle gehen von zufallsbedingten Bedarfen aus. Das bekannteste ist das Zeitungsjungen-Modell.
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Unterschied zwischen auftrgsgröße und losgrößen
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