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Manchmal ist es schwer zu entscheiden, welchen Aggregator man besser verwenden soll, insbesondere, wenn es um den Mittelwert und Medianwert geht. Natürlich können Sie immer beide verwenden: Eine Metrik zur Berechnung des Mittelwerts und eine andere für den Median. Dies zeigt Ihnen die Maßnahmen, welche in diesem spezifischen Fall am hilfreichsten sind. Das Verständnis dieser statistischen Begriffe wird Ihnen jedoch dabei helfen, die richtige Entscheidung viel schneller zu treffen. Der Mittelwert (oder Durchschnitt) und der Median spielen eine ähnliche Rolle beim Verständnis der zentralen Tendenz in einer Reihe von Zahlen. Der Mittelwert ist traditionell eine beliebte Messung des Mittelpunkts eines Zahlensatzes, aber er hat den Nachteil, dass er von einzelnen Werten beeinflusst wird, die viel höher oder niedriger als der Rest der Werte liegen. Daher ist der Median eine bessere Messung des Mittelpunkts in Fällen, wo eine kleine Anzahl von Ausreißern den Mittelwert drastisch verändern könnte. Mittelwert Median
Was lernen wir daraus?Wenn die Daten, die Sie vergleichen, meist einheitlich verteilt sind, können Sie sicher den Durchschnitt (AVG)-Aggregator verwenden. Wenn der Nummernsatz jedoch einige Ausreißer hat, sollten Sie die Verwendung des Medianwerts (MEDIAN) in Betracht ziehen, um Werte herauszufiltern, die die Resultate verfälschen. BespieleEin paar praktische Beispiele:
Hier ist eine Demo, wie eine Median-Metrik in Insights in den Mittelwert umgewandelt werden kann: Eine Median-Metrik in den Mittelwert umwandeln
Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Mittelwert (Begriffsklärung) aufgeführt. Ein Mittelwert (kurz auch nur Mittel; anderes Wort Durchschnitt) ist eine Zahl, die aus gegebenen Zahlen nach einer bestimmten Rechenvorschrift ermittelt wird. Gebräuchlich sind Rechenvorschriften für das arithmetische, das geometrische und das quadratische Mittel. Mit dem Wort Mittel oder Durchschnitt ist meistens das arithmetische Mittel gemeint. In der Statistik ist der Mittelwert einer der Parameter, die den typischen Wert einer Verteilung charakterisieren, bzw. die die zentrale Tendenz einer Verteilung zum Ausdruck bringen (Lageparameter). Eng verwandt ist der arithmetische Mittelwert mit dem Erwartungswert einer Verteilung. Während der Mittelwert aus konkreten vorliegenden Zahlenwerten ermittelt wird, beruht der Erwartungswert auf der theoretisch zu erwartenden Häufigkeit. In der Mathematik treten Mittelwerte, insbesondere die drei klassischen Mittelwerte (arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel), bereits in der Antike auf. Pappos von Alexandria kennzeichnet zehn verschiedene Mittelwerte m {\displaystyle m} von zwei Zahlen a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} ( a < b {\displaystyle a<b} ) durch spezielle Werte des Streckenverhältnisses ( b − m ) : ( m − a ) {\displaystyle (b-m):(m-a)} . Auch die Ungleichung zwischen harmonischem, geometrischem und arithmetischem Mittel ist in der Antike bereits bekannt und geometrisch interpretiert. Im 19. und 20. Jahrhundert spielen Mittelwerte in der Analysis eine spezielle Rolle, dort im Wesentlichen im Zusammenhang mit berühmten Ungleichungen und wichtigen Funktionseigenschaften wie Konvexität (Hölder-Ungleichung, Minkowski-Ungleichung, Jensensche Ungleichung usw.). Dabei wurden die klassischen Mittelwerte in mehreren Schritten verallgemeinert, zunächst zu den Potenzmittelwerten (siehe Abschnitt Hölder-Mittel unten) und diese wiederum zu den quasi-arithmetischen Mittelwerten. Die klassische Ungleichung zwischen harmonischem, geometrischem und arithmetischem Mittel geht dabei über in allgemeinere Ungleichungen zwischen Potenzmittelwerten bzw. quasi-arithmetischen Mittelwerten. Visualisierung des arithmetischen Mittels mit einer Wippe. Nachrechnung ohne Dimension: Kugelgewicht gleich 5 , {\displaystyle 5,} Abstände zum Drehpunkt △ {\displaystyle \triangle } gleich 2 , 1 {\displaystyle 2,1} und 3 {\displaystyle 3} ergibt 5 ⋅ 2 + 5 ⋅ 1 = 5 ⋅ 3 {\displaystyle 5\cdot 2+5\cdot 1=5\cdot 3} Den meistbenutzten Mittelwert, das arithmetische Mittel, kann man z. B. mithilfe gleich schwerer Kugeln auf einer Wippe visualisieren, die aufgrund der Hebelgesetze durch ein Dreieck (Drehpunkt) ausbalanciert sind. Unter der Annahme, dass das Gewicht des Balkens vernachlässigt werden kann, entspricht die Position des Dreiecks, das die Balance herbeiführt, dem arithmetischen Mittel der Kugelpositionen. Im Folgenden seien x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}} gegebene reelle Zahlen, in der Statistik etwa Messwerte, deren Mittelwert berechnet werden soll.[1] Arithmetischer Mittelwert→ Hauptartikel: Arithmetisches Mittel Das arithmetische Mittel ist die Summe der gegebenen Werte geteilt durch die Anzahl der Werte. x ¯ a r i t h m = 1 n ∑ i = 1 n x i = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n {\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}}{n}}}Geometrisches Mittel→ Hauptartikel: Geometrisches Mittel Im Fall von Zahlen, die nicht auf Grund ihrer Summe, sondern ihres Produktes interpretiert werden, kann das geometrische Mittel berechnet werden. Dazu werden die Zahlen miteinander multipliziert und die n-te Wurzel gezogen, wobei n der Anzahl der zu mittelnden Zahlen entspricht. x ¯ g e o m = ∏ i = 1 n x i n = x 1 x 2 ⋯ x n n {\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {geom} }={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\dotsm x_{n}}}}Harmonischer Mittelwert→ Hauptartikel: Harmonisches Mittel Das harmonische Mittel findet Verwendung, wenn die Zahlen im Bezug auf eine Einheit definiert sind. Dazu wird die Anzahl der Werte durch die Summe der Kehrwerte der Zahlen geteilt. x ¯ h a r m = n ∑ i = 1 n 1 x i = n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n {\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {harm} }={\frac {n}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\dotsb +{\frac {1}{x_{n}}}}}}
Säulendiagramm zu den Beispielen Im Folgenden soll beispielhaft an den sieben rechts angegebenen Einträgen in der Wertetabelle gezeigt werden, wo welche Definition des Mittelwerts sinnvoll ist. Das arithmetische Mittel wird beispielsweise zum Berechnen der Durchschnittsgeschwindigkeit genutzt, die Werte werden also als Geschwindigkeiten interpretiert: Läuft eine Schildkröte erst eine Stunde lang drei Meter pro Stunde, dann drei Stunden lang je zwei Meter und beschleunigt für jeweils eine Stunde nochmals auf drei, vier und fünf Meter pro Stunde, so ergibt sich als arithmetisches Mittel bei einer Strecke von 21 Metern in 7 Stunden: x ¯ a r i t h m = 1 7 ∑ i = 1 7 x i = ( 3 + 2 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 ) m 7 h = 21 m 7 h = 3 m h {\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }&={\frac {1}{7}}\sum \limits _{i=1}^{7}{x_{i}}\\&={\frac {(3+2+2+2+3+4+5)\,\mathrm {m} }{7\,\mathrm {h} }}={\frac {21\,\mathrm {m} }{7\,\mathrm {h} }}=3\,\mathrm {\frac {m}{h}} \end{aligned}}}Auch das harmonische Mittel kann zur Berechnung einer durchschnittlichen Geschwindigkeit sinnvoll sein, wenn nicht über gleiche Zeiten, sondern über gleiche Strecken gemessen wird. In dem Fall geben die Werte der Tabelle die Zeiten an, in der eine einheitliche Strecke zurückgelegt wird: Die Schildkröte laufe den 1. Meter mit 3 Metern pro Stunde, weitere 3 m mit jeweils 2 m/h und beschleunigt auf den letzten 3 Metern nochmals auf jeweils 3, 4 und 5 m/h. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich bei einer Strecke von 7 Metern in 157 60 {\displaystyle {\tfrac {157}{60}}} Stunden: x ¯ h a r m = 7 ∑ i = 1 7 1 x i = 7 m ( 1 3 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 ) h = 7 m 157 60 h ≈ 2 , 68 m h {\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}_{\mathrm {harm} }&={\frac {7}{\sum \limits _{i=1}^{7}{\frac {1}{x_{i}}}}}\\&={\frac {7\,\mathrm {m} }{\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)\,\mathrm {h} }}={\frac {7\,\mathrm {m} }{{\frac {157}{60}}\,\mathrm {h} }}\approx 2{,}68\,\mathrm {\frac {m}{h}} \end{aligned}}}Mit dem geometrischen Mittel errechnet man den mittleren Wachstumsfaktor. Die Wertetabelle wird also als die Angabe von Wachstumsfaktoren interpretiert. Eine Bakterienkultur wachse beispielsweise am ersten Tag auf das Fünffache, am zweiten auf das Vierfache, dann zweimal auf das Dreifache und die letzten drei Tage verdoppelt sie sich täglich. Der Bestand nach dem siebten Tag errechnet sich also durch Anfangsbestand ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = Endbestand . {\displaystyle {\text{Anfangsbestand}}\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 2={\text{Endbestand}}.} Alternativ kann mit dem geometrischen Mittel der Endbestand ermittelt werden, denn x ¯ g e o m = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 7 = 1440 7 ≈ 2 , 83 {\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {geom} }={\sqrt[{7}]{5\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 2}}={\sqrt[{7}]{1440}}\approx 2{,}83}und somit ist Anfangsbestand ⋅ ( x ¯ g e o m ) 7 = Endbestand . {\displaystyle {\text{Anfangsbestand}}\cdot ({\bar {x}}_{\mathrm {geom} })^{7}={\text{Endbestand}}.}Ein tägliches Wachstum der Bakterienkultur um das 2,83-Fache hätte also nach sieben Tagen zum selben Ergebnis geführt. Die Idee, die den drei klassischen Mittelwerten zugrunde liegt, lässt sich auf folgende Weise allgemein formulieren: Beim arithmetischen Mittel sucht man die Zahl m {\displaystyle m} , für die m + m + ⋯ + m = n ⋅ m = x 1 + x 2 + ⋯ + x n {\displaystyle m+m+\dotsb +m=n\cdot m=x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}}gilt, wobei sich die Summe links über n {\displaystyle n} Summanden erstreckt. Das arithmetische Mittel mittelt also bzgl. der arithmetischen Verknüpfung „Summe“. Anschaulich bestimmt man mit dem arithmetischen Mittel aus Stäben verschiedener Länge einen mit einer durchschnittlichen oder mittleren Länge. Beim geometrischen Mittel sucht man die Zahl m {\displaystyle m} , für die m ⋅ m ⋯ m = m n = x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n {\displaystyle m\cdot m\dotsm m=m^{n}=x_{1}\cdot x_{2}\dotsm x_{n}}gilt, wobei sich das Produkt links über n {\displaystyle n} Faktoren erstreckt. Das geometrische Mittel mittelt also bzgl. der arithmetischen Verknüpfung „Produkt“. Das harmonische Mittel m {\displaystyle m} löst die Gleichung 1 m + 1 m + ⋯ + 1 m = n m = 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n {\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{m}}+\dotsb +{\frac {1}{m}}={\frac {n}{m}}={\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\dotsb +{\frac {1}{x_{n}}}}Der generelle Unterschied zwischen einem Mittelwert und dem Erwartungswert ist, dass der Mittelwert auf einen konkreten Datensatz angewendet wird, während der Erwartungswert Information über die Verteilung einer Zufallsvariablen liefert. Von Bedeutung ist die Verbindung zwischen diesen beiden Parametern. Wenn der Datensatz, auf den das Mittel angewendet wird, eine Stichprobe der Verteilung der Zufallsvariablen ist, ist das arithmetische Mittel der erwartungstreue und konsistente Schätzer des Erwartungswertes der Zufallsvariablen. Da der Erwartungswert dem ersten Moment einer Verteilung entspricht, wird der Mittelwert daher häufig genutzt, um aus empirischen Daten die Verteilung einzuschränken. Im Falle der häufig genutzten Normalverteilung, die durch die ersten beiden Momente vollkommen festgelegt ist, ist der Mittelwert daher von entscheidender Bedeutung. Zusammenhang von arithmetischem, harmonischem und geometrischem MittelDer Kehrwert des harmonischen Mittels ist gleich dem arithmetischen Mittel der Kehrwerte der Zahlen. Für n = 2 {\displaystyle n=2} hängen die Mittelwerte untereinander in folgender Weise zusammen: x h a r m = x g e o m 2 x a r i t h m {\displaystyle x_{\mathrm {harm} }={\frac {x_{\mathrm {geom} }^{2}}{x_{\mathrm {arithm} }}}}oder nach dem geometrischen Mittel aufgelöst x geom = x arithm ⋅ x harm . {\displaystyle x_{\text{geom}}={\sqrt {x_{\text{arithm}}\cdot x_{\text{harm}}}}.}Ungleichung der Mittelwerte→ Hauptartikel: Ungleichung der Mittelwerte Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel vergleicht die Werte des arithmetischen und geometrischen Mittels zweier gegebener Zahlen: Es gilt für positive Variable stets min ( x 1 , … , x n ) ≤ x ¯ geom ≤ x ¯ arithm ≤ max ( x 1 , … , x n ) . {\displaystyle \min(x_{1},\dotsc ,x_{n})\leq {\bar {x}}_{\text{geom}}\leq {\bar {x}}_{\text{arithm}}\leq \max(x_{1},\dotsc ,x_{n}).}Die Ungleichung lässt sich auch auf weitere Mittelwerte ausdehnen, z. B. (für positive Variable) min ( x 1 , … , x n ) ≤ x ¯ harm ≤ x ¯ geom ≤ x ¯ arithm ≤ max ( x 1 , … , x n ) . {\displaystyle \min(x_{1},\dotsc ,x_{n})\leq {\bar {x}}_{\text{harm}}\leq {\bar {x}}_{\text{geom}}\leq {\bar {x}}_{\text{arithm}}\leq \max(x_{1},\dotsc ,x_{n}).}Für zwei (positive) Variablen gibt es auch eine grafische Veranschaulichung: Geometrischer Beweis der Ungleichung für Mittelwerte zweier Variablen Das geometrische Mittel folgt direkt aus dem euklidischen Höhensatz und das harmonische Mittel aus dem euklidischen Kathetensatz mit der Beziehung → Hauptartikel: Median und Modus (Statistik) Vergleich zwischen Modus, Median und "Mittel" (eigentlich: Erwartungswert) zweier Log-Normalverteilungen Häufig wird ein Mittelwert dazu genutzt um einen zentralen Wert eines Datensatz zu beschreiben. Dabei gibt es weitere Parameter die ebenfalls diese Funktion erfüllen, Median und Modus. Der Median beschreibt einen Wert, der den Datensatz in zwei Hälften teilt, während der Modus den Wert mit der höchsten Häufigkeit im Datensatz angibt. Im Vergleich zum Median ist der Mittelwert anfälliger für Ausreißer und daher weniger robust. Auch ist es möglich, da der Median ein Quantil der Verteilung beschreibt, dass dieser einen Wert aus der Ausgangsmenge beschreibt. Dies ist vor allem dann interessant, wenn die Zahlen zwischen den gegebenen Daten aus anderweitigen – beispielsweise physikalischen – Überlegungen nicht aussagekräftig sind. Der Median wird allgemein mit der folgenden Rechenvorschrift ermittelt.[1] x ¯ m e d = { x ( n + 1 2 ) , n ungerade, 1 2 ( x ( n 2 ) + x ( n 2 + 1 ) ) , n gerade. {\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {med} }={\begin{cases}x_{\left({\frac {n+1}{2}}\right)},&n{\text{ ungerade,}}\\{\frac {1}{2}}\left(x_{\left({\frac {n}{2}}\right)}+x_{\left({{\frac {n}{2}}+1}\right)}\right),&n{\text{ gerade.}}\end{cases}}} Die gewichteten oder auch gewogenen Mittelwerte entstehen, wenn man den einzelnen Werten unterschiedliche Gewichte zuordnet, mit denen sie in das Gesamtmittel einfließen; zum Beispiel, wenn bei einer Prüfung mündliche und schriftliche Leistung unterschiedlich stark in die Gesamtnote einfließen. Die genauen Definitionen finden sich hier:
Quadratisches und kubisches MittelWeitere Mittel, die Verwendung finden, sind das quadratisches Mittel und kubisches Mittel. Das quadratische Mittel wird mit der folgenden Rechenvorschrift berechnet: x ¯ q u a d r = 1 n ∑ i = 1 n x i 2 = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 n {\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}}{n}}}}Das kubische Mittel wird wie folgt ermittelt: x ¯ k u b i s c h = 1 n ∑ i = 1 n x i 3 3 = x 1 3 + x 2 3 + ⋯ + x n 3 n 3 {\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {kubisch} }={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{3}}}}={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\dotsb +x_{n}^{3}}{n}}}}Logarithmischer MittelwertDer logarithmische Mittelwert x ¯ a , b , ln {\displaystyle {\bar {x}}_{a,b,\ln }} von x a {\displaystyle x_{a}} und x b {\displaystyle x_{b}} ist definiert als x ¯ a , b , ln = x b − x a ln ( x b x a ) = x b − x a ln ( x b ) − ln ( x a ) {\displaystyle {\bar {x}}_{a,b,\ln }={\frac {x_{b}-x_{a}}{\ln({\frac {x_{b}}{x_{a}}})}}={\frac {x_{b}-x_{a}}{\ln(x_{b})-\ln(x_{a})}}}Für x a ≠ x b {\displaystyle x_{a}\neq x_{b}} liegt der logarithmische Mittelwert zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittelwert (für x a = x b {\displaystyle x_{a}=x_{b}} ist er wegen der Division durch null nicht definiert). Winsorisiertes und getrimmtes Mittel→ Hauptartikel: Getrimmter Mittelwert Kann man davon ausgehen, dass die Daten durch „Ausreißer“, das heißt einige wenige zu hohe oder zu niedrige Werte, kontaminiert sind, so kann man die Daten entweder durch Stutzen oder durch „Winsorisieren“ (benannt nach Charles P. Winsor) bereinigen und den getrimmten (bzw. gestutzten) x ¯ t α {\displaystyle {\bar {x}}_{t\alpha }} (engl. truncated mean) oder winsorisierten Mittelwert x ¯ w α {\displaystyle {\bar {x}}_{w\alpha }} (engl. Winsorized mean) berechnen. In beiden Fällen sortiert man die Beobachtungswerte zuerst nach aufsteigender Größe. Beim Trimmen schneidet man sodann eine gleiche Anzahl von Werten am Anfang und am Ende der Folge ab und berechnet von den übrig bleibenden Werten den Mittelwert. Hingegen werden beim „Winsorisieren“ die Ausreißer am Anfang und Ende der Folge durch den nächstkleineren (bzw. -größeren) Wert der restlichen Daten ersetzt. Beispiel: Hat man 10 aufsteigend sortierte reelle Zahlen x 1 , … , x 10 {\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{10}} , so ist das 10-%-getrimmte Mittel gleich x ¯ t 0 , 1 = x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 8 . {\displaystyle {\bar {x}}_{t0{,}1}={\frac {x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}}{8}}.}Indes ist der 10-%-winsorisierte Mittelwert gleich x ¯ w 0 , 1 = x 2 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x 9 10 . {\displaystyle {\bar {x}}_{w0{,}1}={\frac {x_{2}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}+x_{9}}{10}}.}D. h., das getrimmte Mittel liegt zwischen dem arithmetischen Mittel (keine Stutzung) und dem Median (maximale Stutzung). Üblicherweise wird ein 20-%-getrimmtes Mittel verwendet, d. h., 40 % der Daten bleiben unberücksichtigt für die Mittelwertberechnung. Die Prozentzahl richtet sich im Wesentlichen nach der Zahl der vermuteten Ausreißer in den Daten; für Bedingungen für eine Trimmung von weniger als 20 % sei auf die Literatur verwiesen.[2][3] QuartilsmittelDas Quartilsmittel ist definiert als der Mittelwert des 1. und 3. Quartils: x ¯ q = x ~ 0 , 25 + x ~ 0 , 75 2 . {\displaystyle {\bar {x}}_{q}={\frac {{\tilde {x}}_{0{,}25}+{\tilde {x}}_{0{,}75}}{2}}.}Hierbei bezeichnet x ~ 0 , 25 {\displaystyle {\tilde {x}}_{0{,}25}} das 25-%-Quantil (1. Quartil) und entsprechend x ~ 0 , 75 {\displaystyle {\tilde {x}}_{0{,}75}} das 75-%-Quantil (3. Quartil) der Messwerte. Das Quartilsmittel ist robuster als das arithmetische Mittel, aber weniger robust als der Median. Mitte der kürzesten HälfteSei [ a , b [ {\displaystyle [a,b[} das kürzeste Intervall unter allen Intervallen mit F ( b ) − F ( a ) ≥ 1 2 {\displaystyle F(b)-F(a)\geq {\frac {1}{2}}} , so ist b − a 2 {\displaystyle {\frac {b-a}{2}}} dessen Mitte (middle of the shortest half). Bei unimodalen symmetrischen Verteilungen konvergiert dieser Wert gegen das arithmetische Mittel.[4] Gastwirth-Cohen-MittelDas Gastwirth-Cohen-Mittel[5] nutzt drei Quantile der Daten: das α {\displaystyle \alpha } -Quantil und das ( 1 − α ) {\displaystyle (1-\alpha )} -Quantil jeweils mit Gewicht λ {\displaystyle \lambda } sowie den Median mit Gewicht 1 − 2 λ {\displaystyle 1-2\lambda } : x ¯ g c = λ x ~ α + ( 1 − 2 λ ) x ~ 0 , 5 + λ x ~ 1 − α {\displaystyle {\bar {x}}_{gc}=\lambda {\tilde {x}}_{\alpha }+(1-2\lambda ){\tilde {x}}_{0{,}5}+\lambda {\tilde {x}}_{1-\alpha }}mit 0 ≤ α ≤ 0 , 5 {\displaystyle 0\leq \alpha \leq 0{,}5} und 0 ≤ λ ≤ 0 , 5 {\displaystyle 0\leq \lambda \leq 0{,}5} . Spezialfälle sind
BereichsmittelDas Bereichsmittel (englisch Mid-range) ist definiert als der arithmetische Mittelwert aus dem größten und dem kleinsten Beobachtungswert: x ¯ b = min i x i + max i x i 2 {\displaystyle {\bar {x}}_{b}={\frac {\min _{i}x_{i}+\max _{i}x_{i}}{2}}}Dies ist gleichbedeutend mit: | min i x i − x ¯ b | = | max i x i − x ¯ b | {\displaystyle |{\min _{i}x_{i}-{\bar {x}}_{b}}|=|{\max _{i}x_{i}-{\bar {x}}_{b}}|}Das „a-Mittel“Für einen gegebenen reellen Vektor a = ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle a=(a_{1},\dotsc ,a_{n})} mit ∑ i = 1 n a i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=1} wird der Ausdruck [ a ] = 1 n ! ∑ σ x σ ( 1 ) a 1 ⋯ x σ ( n ) a n , {\displaystyle [a]={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma }x_{\sigma (1)}^{a_{1}}\dotsm x_{\sigma (n)}^{a_{n}},}wobei über alle Permutationen σ {\displaystyle \sigma } von { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\dotsc ,n\}} summiert wird, als „ a {\displaystyle a} -Mittel“ [ a {\displaystyle a} ] der nichtnegativen reellen Zahlen x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}} bezeichnet. Für den Fall a = ( 1 , 0 , … , 0 ) {\displaystyle a=(1,0,\dotsc ,0)} , ergibt das genau das arithmetische Mittel der Zahlen x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}} ; für den Fall a = ( 1 n , … , 1 n ) {\displaystyle a=\left({\tfrac {1}{n}},\dotsc ,{\tfrac {1}{n}}\right)} ergibt sich genau das geometrische Mittel. Für die a {\displaystyle a} -Mittel gilt die Muirhead-Ungleichung. Beispiel: Sei a = ( 1 2 , 1 3 , 1 6 ) {\displaystyle a=\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{6}}\right)} und x 1 = 4 , x 2 = 5 , x 3 = 6 , {\displaystyle x_{1}=4,\,x_{2}=5,\,x_{3}=6,} dann gilt 1 2 + 1 3 + 1 6 = 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{6}}=1} und die Menge der Permutationen (in Kurzschreibweise) von { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} ist S 3 = { 1 2 3 , 1 3 2 , 2 1 3 , 2 3 1 , 3 1 2 , 3 2 1 } . {\displaystyle S_{3}=\{1\,2\,3,1\,3\,2,2\,1\,3,2\,3\,1,3\,1\,2,3\,2\,1\}.}Damit ergibt sich [ a ] = 1 3 ! ( x 1 1 2 x 2 1 3 x 3 1 6 + x 1 1 2 x 3 1 3 x 2 1 6 + x 2 1 2 x 1 1 3 x 3 1 6 + x 2 1 2 x 3 1 3 x 1 1 6 + x 3 1 2 x 1 1 3 x 2 1 6 + x 3 1 2 x 2 1 3 x 1 1 6 ) = 1 6 ( 4 1 2 ⋅ 5 1 3 ⋅ 6 1 6 + 4 1 2 ⋅ 6 1 3 ⋅ 5 1 6 + 5 1 2 ⋅ 4 1 3 ⋅ 6 1 6 + 5 1 2 ⋅ 6 1 3 ⋅ 4 1 6 + 6 1 2 ⋅ 4 1 3 ⋅ 5 1 6 + 6 1 2 ⋅ 5 1 3 ⋅ 4 1 6 ) ≈ 4 , 94. {\displaystyle {\begin{aligned}{[a]}&={\frac {1}{3!}}\left(x_{1}^{\frac {1}{2}}x_{2}^{\frac {1}{3}}x_{3}^{\frac {1}{6}}+x_{1}^{\frac {1}{2}}x_{3}^{\frac {1}{3}}x_{2}^{\frac {1}{6}}+x_{2}^{\frac {1}{2}}x_{1}^{\frac {1}{3}}x_{3}^{\frac {1}{6}}+x_{2}^{\frac {1}{2}}x_{3}^{\frac {1}{3}}x_{1}^{\frac {1}{6}}+x_{3}^{\frac {1}{2}}x_{1}^{\frac {1}{3}}x_{2}^{\frac {1}{6}}+x_{3}^{\frac {1}{2}}x_{2}^{\frac {1}{3}}x_{1}^{\frac {1}{6}}\right)\\&={\frac {1}{6}}\left(4^{\frac {1}{2}}{\cdot }5^{\frac {1}{3}}{\cdot }6^{\frac {1}{6}}+4^{\frac {1}{2}}{\cdot }6^{\frac {1}{3}}{\cdot }5^{\frac {1}{6}}+5^{\frac {1}{2}}{\cdot }4^{\frac {1}{3}}{\cdot }6^{\frac {1}{6}}+5^{\frac {1}{2}}{\cdot }6^{\frac {1}{3}}{\cdot }4^{\frac {1}{6}}+6^{\frac {1}{2}}{\cdot }4^{\frac {1}{3}}{\cdot }5^{\frac {1}{6}}+6^{\frac {1}{2}}{\cdot }5^{\frac {1}{3}}{\cdot }4^{\frac {1}{6}}\right)\\&\approx 4{,}94.\end{aligned}}}Gleitende Durchschnitte→ Hauptartikel: Gleitender Mittelwert Gleitende Durchschnitte werden in der dynamischen Analyse von Messwerten angewandt. Sie sind außerdem ein gängiges Mittel der technischen Analyse in der Finanzmathematik. Mit gleitenden Durchschnitten kann das stochastische Rauschen aus zeitlich voranschreitenden Signalen herausgefiltert werden. Häufig handelt es sich dabei um FIR-Filter. Jedoch muss beachtet werden, dass die meisten gleitenden Durchschnitte dem echten Signal hinterherlaufen. Für vorausschauende Filter siehe z. B. Kalman-Filter. Gleitende Durchschnitte benötigen normalerweise eine unabhängige Variable, die die Größe der nachlaufenden Stichprobe bezeichnet, bzw. das Gewicht des vorangehenden Wertes für die exponentiellen gleitenden Durchschnitte. Gängige gleitende Durchschnitte sind:
In der Finanzliteratur können außerdem sogenannte adaptive gleitende Durchschnitte gefunden werden, die sich automatisch einer sich ändernden Umgebung (andere Volatilität/Streuung etc.) anpassen:
Für die Anwendung von gleitenden Durchschnitten siehe auch Gleitende Durchschnitte (Chartanalyse) und MA-Modell. Kombinierte MittelwerteMittelwerte lassen sich kombinieren; so entsteht etwa das arithmetisch-geometrische Mittel, das zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegt. Es gibt eine Reihe weiterer Funktionen, mit denen sich die bekannten und weitere Mittelwerte erzeugen lassen. Hölder-Mittel→ Hauptartikel: Hölder-Mittel Für positive Zahlen x i {\displaystyle x_{i}} definiert man den k {\displaystyle k} -Potenzmittelwert, auch Hölder-Mittel (englisch k {\displaystyle k} -th power mean) als x ¯ ( k ) = 1 n ∑ i = 1 n x i k k . {\displaystyle {\bar {x}}(k)={\sqrt[{k}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{k}}}}.}Für k = 0 {\displaystyle k=0} ist der Wert durch stetige Ergänzung definiert: x ¯ ( 0 ) = lim k → 0 x ¯ ( k ) {\displaystyle {\bar {x}}(0)=\lim _{k\to 0}{\bar {x}}(k)}Man beachte, dass sowohl Notation als auch Bezeichnung uneinheitlich sind. Für k = − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 {\displaystyle k=-1,0,1,2,3} ergeben sich daraus etwa das harmonische, das geometrische, das arithmetische, das quadratische und das kubische Mittel. Für k → − ∞ {\displaystyle k\to -\infty } ergibt sich das Minimum, für k → + ∞ {\displaystyle k\to +\infty } das Maximum der Zahlen. Außerdem gilt bei festen Zahlen x i {\displaystyle x_{i}} : Je größer k {\displaystyle k} ist, desto größer ist x ¯ ( k ) {\displaystyle {\bar {x}}(k)} ; daraus folgt dann die verallgemeinerte Ungleichung der Mittelwerte min ( x 1 , … , x n ) ≤ x ¯ h a r m ≤ x ¯ g e o m ≤ x ¯ a r i t h m ≤ x ¯ q u a d r ≤ x ¯ k u b i s c h ≤ max ( x 1 , … , x n ) . {\displaystyle \min(x_{1},\dotsc ,x_{n})\leq {\bar {x}}_{\mathrm {harm} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {geom} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {kubisch} }\leq \max(x_{1},\dotsc ,x_{n}).}Lehmer-MittelDas Lehmer-Mittel[6] ist ein anderer verallgemeinerter Mittelwert; zur Stufe p {\displaystyle p} ist es definiert durch L p ( a 1 , a 2 , … , a n ) = ∑ k = 1 n a k p ∑ k = 1 n a k p − 1 . {\displaystyle L_{p}(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})={\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p-1}}}.}Es hat die Spezialfälle
Stolarsky-MittelDas Stolarsky-Mittel zweier Zahlen a , c {\displaystyle a,c} ist definiert durch S p ( a , c ) = ( a p − c p p ( a − c ) ) 1 / p − 1 . {\displaystyle S_{p}(a,c)=\left({\frac {a^{p}-c^{p}}{p(a-c)}}\right)^{1/p-1}.}Integraldarstellung nach ChenDie Funktion f ( t ) = ∫ a b x t + 1 d x ∫ a b x t d x {\displaystyle f(t)={\frac {\int _{a}^{b}x^{t+1}\,\mathrm {d} x}{\int _{a}^{b}x^{t}\,\mathrm {d} x}}}ergibt für verschiedene Argumente t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } die bekannten Mittelwerte von a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} :[7]
Aus der Stetigkeit und Monotonie der so definierten Funktion f {\displaystyle f} folgt die Mittelwertungleichung 2 a b a + b ⏟ harm. = f ( − 3 ) ≤ a b ⏟ geom. = f ( − 3 2 ) ≤ b − a ln b − ln a ⏟ log. = f ( − 1 ) ≤ a + a b + b 3 ⏟ heron. = f ( − 1 2 ) ≤ a + b 2 ⏟ arithm. = f ( 0 ) {\displaystyle \underbrace {\frac {2ab}{a+b}} _{{\text{harm. }}=f(-3)}\leq \underbrace {\sqrt {ab}} _{{\text{geom. }}=f\left(-{\frac {3}{2}}\right)}\leq \underbrace {\frac {b-a}{\ln b-\ln a}} _{{\text{log. }}=f(-1)}\leq \underbrace {\frac {a+{\sqrt {ab}}+b}{3}} _{{\text{heron. }}=f\left(-{\frac {1}{2}}\right)}\leq \underbrace {\frac {a+b}{2}} _{{\text{arithm. }}=f(0)}}Das arithmetische Mittel einer stetigen Funktion f ( x ) {\displaystyle f(x)} in einem geschlossenen Intervall [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ist lim N → ∞ ∑ i = 0 N f ( x i ) N = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {\sum _{i=0}^{N}f(x_{i})}{N}}={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x} , wobei N = b − a Δ x {\displaystyle N={\frac {b-a}{\Delta x}}} die Zahl der Stützstellen ist.Das quadratische Mittel einer stetigen Funktion ist 1 b − a ∫ a b f ( x ) 2 d x . {\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}f(x)^{2}\mathrm {d} x}}.}Diese finden in der Technik erhebliche Beachtung, siehe Gleichwert und Effektivwert.
Wiktionary: Durchschnittswert – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen Wiktionary: Mittelwert – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
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