"Iniziare" and "cominciare" are virtually interchangeable. According to L'Accademia della Crusca, "iniziare" used to be only transitive or intransitive with pronoun particle («il corso s'inizia a ottobre»); due to the influence of the verb "cominciare" - which was used also as intransitive verb - "iniziare" has come to be used the same way, without the pronoun particle and with auxiliary verb "essere" («il corso è iniziato a ottobre»). In this specific case you can say: «Sono a dieta, l'ho cominciata tre giorni fa», «Sono a dieta, l'ho iniziata tre giorni fa», «Sono a dieta, ho cominciato tre giorni fa», «Sono a dieta, ho iniziato tre giorni fa». You should probably avoid «Sono a dieta, ho iniziato/cominciato la dieta tre giorni fa» unless you really need to repeat the word "dieta" for some rhetoric or other reason. The only difference between "iniziare" and "cominciare" is when you use "iniziare" with the meaning of initiating someone into some kind of philosophical mystery or religious secret; or, figuratively, initiating someone into some kind of knowledge or community of people, etc. See also "Iniziazione", 1, 2, 3, 4, and these are only from Treccani :-)
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