Stell Dir vor, Du spielst mit Deinen Freunden ein Würfelspiel. Derjenige, der die meisten Sechsen würfelt, gewinnt das Spiel. Wie es aussieht, hast Du ziemlich Glück und von 20 Würfen viermal eine Sechs gewürfelt. Dein Freund dagegen hat sechsmal eine Sechs gewürfelt, hat dafür aber 32-mal gewürfelt. Dein Freund hat zwar mehr Sechsen gewürfelt, aber hatte er auch die bessere Trefferquote? Bei der Beantwortung dieser Frage können Dir die relativen Häufigkeiten behilflich sein. Show  Was genau unter der relativen Häufigkeit zu verstehen ist, wie Du sie berechnen kannst und was sie mit der Wahrscheinlichkeit eines Zufallsexperimentes zu tun hat, erfährst Du hier. Absolute und Relative HäufigkeitIn der Stochastik wird zwischen absoluten und relativen Häufigkeiten unterschieden. Damit Du die beiden Begriffe besser voneinander abgrenzen kannst, wird an dieser Stelle neben der relativen Häufigkeit auch kurz die absolute Häufigkeit beleuchtet. Absolute HäufigkeitBei der absoluten Häufigkeit geht es darum, wie oft ein bestimmtes Ereignis stattfindet. Somit ist die absolute Häufigkeit im weitesten Sinne mit dem Begriff Anzahl oder Zählung gleichzusetzen. Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Ereignis X innerhalb eines Zufallsexperimentes mit n Versuchen eintritt. Die mathematische Schreibweise lautet wie folgt: Was ist jetzt die absolute Häufigkeit bei dem Würfelspiel eine Sechs zu würfeln? Für die absolute Häufigkeit zählst Du nun, wie oft die Zahl 6 bei 20 Würfen gewürfelt wurde. In dem Spiel hast Du ganze viermal eine Sechs gewürfelt. Die absolute Häufigkeit beträgt demnach 4. Bei der relativen Häufigkeit wird die absolute Häufigkeit ins Verhältnis zu der Anzahl n der Ausführungen (oder Versuche) gesetzt. Die relative Häufigkeit eines Zufallsereignisses X beschreibt den Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtmenge n der Versuche. Hierbei handelt es sich also um eine Zahl, die zwischen 0 und 1 liegt. Du kannst die relative Häufigkeit eines Zufallsereignisses berechnen, indem Du die absolute Häufigkeit durch die Gesamtmenge der Versuche teilst. Da es sich bei der relativen Häufigkeit immer um einen Anteil, also einen relativen Wert handelt, wird sie neben Brüchen und Dezimalzahlen von 0 bis 1 auch häufig in Prozent angegeben. Zur Erinnerung: Um ein Dezimalzahl in eine Prozentzahl umzurechnen, musst Du die Dezimalzahl mit 100 multiplizieren. Was ist also die relative Häufigkeit dafür, dass Du in dem Spiel eine Sechs gewürfelt hast? Um die relative Häufigkeit für das Ereignis, bei 20 Würfen eine Sechs zu würfeln, zu berechnen, teilst Du die absolute Häufigkeit durch die Gesamtzahl der Würfe . Um diese Zahl in Prozent darzustellen, multiplizierst Du sie mit dem Faktor 100. Da die absolute Häufigkeit die Anzahl von Ereignissen zählt, handelt es sich dabei immer um ganze natürliche Zahlen (0, 1, 2, 3, ..). Da Relative Häufigkeiten sind dagegen Zahlen, die zwischen 0 und 1 liegen. Wie Du im Würfelbeispiel sehen konntest, hängt die relative Häufigkeit von der absoluten Häufigkeit ab. Die absolute Häufigkeit gibt Dir nur Auskunft darüber, wie oft ein bestimmtes Ereignis zugetroffen hat. Mit der relativen Häufigkeit kannst Du darüber hinaus absolute Häufigkeiten direkt miteinander vergleichen und bewerten. Du hast bei dem Spiel von 20 Versuchen viermal eine Sechs gewürfelt. Dein Freund hat sechsmal eine Sechs gewürfelt, hat dafür aber ganze 32-mal gewürfelt. Wer hat jetzt im Verhältnis mehr Sechsen gewürfelt? Um das zu beantworten, vergleichst Du die beiden relativen Häufigkeiten miteinander. Deine relative Häufigkeit hast Du bereits berechnet. Sie liegt bei . Nun berechnest Du zum Vergleich die relative Häufigkeit Deines Freundes:
Wie Du sehen kannst, ist Deine relative Häufigkeit größer als die Deines Freundes. Dein Freund hat somit zwar absolut mehr Sechsen gewürfelt (absolute Häufigkeit), aber dennoch hast Du eine bessere Trefferquote ( relative Häufigkeit) Um Häufigkeiten verschiedener Ereignisse übersichtlich darzustellen, werden in der Statistik Häufigkeitstabellen verwendet. In ihnen findest Du jedes mögliche Ereignis im Zufallsexperiment, die absoluten Häufigkeiten zu jedem Ereignis und die daraus resultierenden relativen Häufigkeiten. Im folgenden Beispiel kannst Du eine mögliche Häufigkeitstabelle für das Würfelspiel sehen.
In die erste Zeile trägst Du alle möglichen Ereignisse X ein, die in dem Zufallsexperiment auftreten können. In dem Spiel sind das die Zahlen von 1 bis 6. Die Häufigkeitstabelle zeigt Dir in der zweiten Zeile die absoluten Häufigkeiten , also wie oft Du welche Zahl bei 20 Würfen gewürfelt hast. Dabei fiel einmal die Eins, sechsmal die Zwei, zweimal die Drei, dreimal die Vier und die Fünf und Sechs jeweils viermal. Die einzelnen absoluten Häufigkeiten in einem Zufallsexperiment ergeben zusammen addiert die Gesamtanzahl der Versuche. Hier ergeben sie zusammen gerechnet also 20. In der dritten Zeile berechnest Du die relativen Häufigkeiten der einzelnen Ereignisse. Dafür teilst Du die absolute Häufigkeit eines Ereignisses X durch die Gesamtzahl der Würfe . Die Häufigkeitsverteilung lässt sich auch graphisch darstellen. Dabei werden die relativen Häufigkeiten in Prozent auf der y-Achse und die Merkmalsausprägungen auf der x-Achse eingetragen. Dabei entsteht ein Säulendiagramm. So ein Säulendiagramm für die relative Häufigkeitsverteilung des Würfelspiels sieht wie folgt aus.
Als Grundlage für das Säulendiagramm dient die Häufigkeitstabelle des Würfelspiels. Auf der x-Achse sind somit die möglichen Ereignisse des Zufallsexperimentes, also die Augenzahlen von 1 bis 6, dargestellt und auf der y-Achse die relative Häufigkeiten in Prozent. Möchtest Du z. B. die relative Häufigkeit der Zahl 2 ablesen, schaust Du auf der x-Achse bei der 2, bis zu welchem y-Wert die Säule reicht. In dem Fall bis 30 %. Kumulierte relative HäufigkeitenIn Häufigkeitstabellen sind auch meist kumulierte Häufigkeiten angegeben. Diese betreffen sowohl die relativen als auch die absoluten Häufigkeiten. Eine kumulierte Häufigkeit ist eine aufsummierte Häufigkeit. Sie gibt somit die Summe aller Häufigkeiten zu einem bestimmten Punkt an. Deshalb wird sie auch Summenhäufigkeit genannt. Die Summe aller relativen Häufigkeiten muss 1 bzw. 100 % ergeben. Die kumulierte relative Häufigkeit kann ebenfalls anhand des Datensatzes des Würfelbeispiels erklärt werden. Um die kumulierten relativen Häufigkeiten aus dem Datensatz des Würfelbeispiels zu bestimmen, addierst Du die relativen Häufigkeiten der möglichen Ereignisse X nacheinander auf. Die Summe bei dem letzten Ereignis (hier die Augenzahl 6) muss dabei 1 bzw. 100 % ergeben!
Aus den kumulierten relativen Häufigkeiten kannst Du jetzt beispielsweise ableiten, dass Du in 45% Deiner Würfe eine 1, 2 oder 3 gewürfelt hast. Die kumulierten relativen Häufigkeiten lassen sich ebenfalls graphisch als Säulendiagramm darstellen.
Vielleicht fragst Du Dich jetzt, wo genau der Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit und der relativen Häufigkeit eines Zufallsereignisses ist. Die Wahrscheinlichkeit p(X) ist ein Maß in der Stochastik für die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Bei einem Würfel, mit 6 gleich großen Seiten, gibt es 6 gleich wahrscheinliche Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln ist immer genauso hoch, wie die, eine Drei zu würfeln usw. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass z. B. eine Sechs gewürfelt wird, beträgt somit: Wie Du in der Häufigkeitstabelle des Würfelspiels sehen konntest, sind die relativen Häufigkeiten der einzelnen Zufallsereignisse bei 20 Würfen nicht gleich, sondern sie unterscheiden sich. Die relative Häufigkeit für die Zahl Sechs bei 20 Würfen beträgt entgegen der Wahrscheinlichkeit: . Bedeutet das jetzt, dass der Würfel gezinkt ist? – Nein. Der Grund für diese Abweichung liegt an dem kleinen Stichprobenumfang n (Gesamtanzahl der Würfe) des Zufallsexperimentes. Laut dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich die relative Häufigkeit immer mehr der erwarteten Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses an, je höher die Gesamtanzahl der Versuche n ist. Bei einer kleinen Gesamtanzahl an Versuchen, wie bei dem Würfelspiel, kann somit die Abweichung zwischen der relativen Häufigkeit und der erwarteten Wahrscheinlichkeit noch relativ groß sein. Um also von der empirisch ermittelten relativen Häufigkeit auf die Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses zu schließen, brauchst Du deutlich mehr Versuche.
Aufgaben zur relativen HäufigkeitMit den folgenden Aufgaben kannst Du nun Dein Wissen über die relative Häufigkeiten auf die Probe stellen und weiter vertiefen. Aufgabe 1: relative Häufigkeiten bestimmen Stell Dir vor, Du schnappst Dir eine Packung Gummibärchen, öffnest sie und schüttest den Inhalt vor Dir aus. Jetzt sortierst Du die Gummibärchen nach Farben. In einer Packung mit 100 Gummibärchen sind 30 Gummibärchen rot, 20 orange, 24 grün und 26 gelb. Bestimme die relativen Häufigkeiten zu den jeweiligen Farben in einer Häufigkeitstabelle und stell die relativen Häufigkeiten grafisch dar. Lösung Stichprobenumfang
Aufgabe 2: kumulierte relative Häufigkeiten bestimmen Dein Freund mag nur die grünen und orangen Gummibärchen. Bestimme mithilfe der kumulierten Häufigkeiten den Anteil der Gummibärchen, den Dein Freund aus der ganzen Tüte mag. Lösung In Aufgabe 1 hast Du bereits die relativen Häufigkeiten zu den verschiedenen Farben der Gummibärchen berechnet. Da Dein Freund nur die grünen und orangen Gummibärchen mag, addierst Du hier die relativen Häufigkeiten der beiden Farben miteinander. Dein Freund mag somit 44 Prozent der Gummibärchen aus der gesamten Tüte. Absolute und relative Häufigkeit - Das Wichtigste
Um die relative Häufigkeit hn von einem Zufallsereignis X zu bestimmen, teilst Du die absolute Häufigkeit Hn von dem Ereignis X durch den Stichprobenumfang (Gesamtzahl der Versuche) n. Die Formel lautet somit: hn(X) = Hn(X) / n
Die relative Häufigkeit eines Zufallsereignisses X beschreibt den Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtmenge n der Versuche. Hierbei handelt es sich also um eine Zahl, die zwischen 0 und 1 liegt.
Um relative Häufigkeiten in absolute Häufigkeiten umzurechnen, multiplizierst Du die relative Häufigkeit mit dem Stichprobenumfang (Gesamtzahl der Versuche) n des Zufallsexperiment. Die Formel lautet: Hn(X)=hn(X) ⋅ n
Die relative Häufigkeit ist nicht mit der Wahrscheinlichkeit eines Zufallsexperimentes gleichzusetzen. Während die relative Häufigkeit sich nämlich aus der tatsächlichen Durchführung des Zufallsexperimentes ergibt, ist die erwartete Wahrscheinlichkeit ein theoretisch berechneter Wert. Laut dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich die relative Häufigkeit immer mehr der erwarteten Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses an, je höher die Gesamtanzahl der Versuche n ist.
Frage
Was gibt die absolute Häufigkeit innerhalb eines Zufallsexperimentes?
Antwort
Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Ereignis X innerhalb eines Zufallsexperimentes mit n Versuchen eintritt.
Frage
Was beschreibt die relative Häufigkeit innerhalb eines Zufallsexperimentes?
Antwort
Die relative Häufigkeit eines Zufallsereignisses X beschreibt den Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtmenge n der Versuche.
Frage
Was geben kumulierte Häufigkeiten an?
Antwort
Eine kumulierte Häufigkeit ist eine aufsummierte Häufigkeit. Sie gibt somit die Summe aller Häufigkeiten zu einem bestimmten Punkt an.
Frage
Was trifft in Bezug auf die kumulierte Häufigkeit zu? Die Summe der..
Antwort
..kumulierten relativen Häufigkeiten muss 1 ergeben.
Frage
Was ist der Unterschied zwischen der absoluten und relativen Häufigkeit?
Antwort
Du kannst durch die absolute Häufigkeit nur die Häufigkeit eines Wertes darstellen, während Du durch die relative Häufigkeit auch Vergleiche hinsichtlich einer Leistung erstellen kannst.
Frage
Was sagt das Gesetz der großen Zahlen in Bezug auf die relative Häufigkeit aus?
Antwort
Laut dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich die relative Häufigkeit immer mehr der erwarteten Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses an, je höher die Gesamtanzahl der Versuche n ist. |
Was ist der Unterschied zwischen absoluten und relativen Häufigkeiten?
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