Wie berechnet man die absolute Häufigkeit

Die Laplace Wahrscheinlichkeit, auch klassische Wahrscheinlichkeit genannt, wird auf sogenannte Laplace-Experimente angewandt und gehört zum mathematischen Teilgebiet der Stochastik. In diesem Beitrag erfährst du, was die Laplace-Wahrscheinlichkeit ist, wann sie angewandt wird und wie du sie berechnen kannst.

Absolute und Relative Häufigkeit

Um zu verstehen, was eine Laplace-Wahrscheinlichkeit ist, ist es zunächst wichtig, dass du das Konzept der Häufigkeit verstehst und wo der Unterschied zwischen absoluter und relativer Häufigkeit liegt.

Absolute Häufigkeit 

Wenn du einen Würfel genau 10 Mal würfelst und dabei 2 Mal eine 6 würfelst, dann lautet die absolute Häufigkeit an des Ereignisses „6“:

Die absolute Häufigkeit kannst du während oder nach der Durchführung für alle möglichen Ereignisse und Ausgänge in einer Tabelle zusammentragen.

Relative Häufigkeit

Bei der relativen Häufigkeit wird die absolute Häufigkeit ins Verhältnis zu der Anzahl n der Ausführungen (oder Versuche) gesetzt. Das bedeutet, dass die absolute Häufigkeit  eines Ereignisses A durch die Anzahl der Ausführungen geteilt wird:

Wenn du die relative Häufigkeit aller Elementarereignisse summierst, erhältst du als Ergebnis „1“.

Grundlagen der Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit P(A), dass das Ereignis A eintritt liegt zwischen 0 („es tritt garantiert nicht ein") und 1 („es tritt garantiert ein“), unter der Bedingung, dass:

• der Versuch, bei dem A eintreten kann, ein Zufallsexperiment ist, das beliebig oft unter gleichen Bedingungen wiederholt werden kann und
• die relative Häufigkeit sich für n🡪 ∞ der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit P(A) unendlich stark nähert

  Verständlich: P(A) ist nur dann die Wahrscheinlichkeit von A, wenn bei unendlich häufigem Wiederholen des Experiments sich die relative Häufigkeit P(A) unendlich stark nähert.

Aus dieser Bedingung folgt, dass gelten muss:  

Übrigens: Diese Definition der Wahrscheinlichkeit wurde aus Experimenten abgeleitet und nennt sich auch das empirische Gesetz der großen Zahlen.

Da du aber nicht jedes Experiment unendlich häufig wiederholen kannst, ist es leichter, die Wahrscheinlichkeit von Zufallsexperimenten zu berechnen. Wie das bei Laplace-Experimenten geht, erklären wir dir jetzt.

Laplace-Experiment

Damit du sagen kannst, dass einem Experiment eine Laplace-Wahrscheinlichkeit zugrunde liegt, muss es bestimmte Bedingungen erfüllen. Es muss sich dabei um ein sogenanntes Laplace-Experiment handeln. Ein Zufallsexperiment ist ein Laplace-Experiment, wenn alle Elementarereignisse, also alle Ausgänge gleichmöglich sind. Das bedeutet, dass kein Ausgang mehr Möglichkeiten hat, einzutreten, als ein anderer.

Ein Beispiel hierfür ist ein Würfel. Da alle sechs Seiten gleichgroß und gleichschwer sind, gibt es keinen Grund anzunehmen, dass bei unendlichem Würfeln die 6 häufiger gewürfelt wird als eine der anderen Seiten.

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit P(A), dass das Ereignis A eintritt, unter der Bedingung, dass ein Laplace-Experiment vorliegt. Die Wahrscheinlichkeit P(), dass das Elementarereignis eintritt, ist bei Laplace-Experimenten für alle Elementarereignisse gleich hoch. 

Sie berechnet sich durch:

Wobeidie Anzahl aller möglichen Elementarereignisse, also aller möglichen Ausgänge darstellt. Diese Formel ergibt sich auch daher, dass die Wahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse zusammen addiert 1 ergeben muss: 

Rechenbeispiel

Beim Werfen eines Würfels gibt es 6 gleichwahrscheinliche Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, … 

Die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln ist immer genauso hoch, wie die, eine 3 zu würfeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass eines der Elementarereignisse eintritt, beträgt:

Der Betrag von Omega ist 6, da sich in der Ergebnismenge genau 6 Elemente befinden, die als Ausgang des Experiments erzielbar sind. Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Da es auch Ereignisse gibt, die durch mehr als ein Ergebnis eintreten, berechnet man deren Wahrscheinlichkeit anders. Hier wird dann statt einer 1 die Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse durch den Betrag von  geteilt.

Rechenbeispiel

Ereignisse, die durch mehrere Ergebnisse eintreten können, gibt es beim Würfeln ebenfalls. Ein solches Ereignis könnte lauten: „Augenzahl gerade“. Die Menge der Ergebnisse, die für dieses Ereignis günstig sind lautet: A = {2, 4, 6}

Wenn du nun also die Wahrscheinlichkeit berechnen möchtest, dass dieses Ereignis eintritt, kannst du die Formel von oben nutzen:

Das ist auch logisch, da 3 von 6 Würfelseiten zum Eintreten des Ereignis führen, also genau die Hälfte. Super! Du weißt nun, wie die Laplace-Wahrscheinlichkeit von Elementarereignissen und mehrelementigen Ereignissen berechnest!

Übrigens: Wenn du mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit rechnest, gelten die allgemeinen Regeln für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten. Dazu gehört auch, dass gilt:

Das Gegenereignis von A ist . Die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis beträgt immer 1: P(A) + P() = 1

Wusstest du schon: Für das Rechnen mit Ereignissen gelten dieselben Regeln wie für das Rechnen mit Mengen. 

Absolute und relative Häufigkeit - Alles Wichtige auf einen Blick

Wir haben die wichtigen Schritte in diesem Artikel für dich in einer Liste zusammengetragen, damit du schnell und übersichtlich Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen kannst. Lege dir diese Liste zum Beispiel ausgedruckt oder abgeschrieben neben Aufgaben, um nie den Überblick zu verlieren!

• Handelt es sich bei meiner Aufgabe um ein Laplace-Experiment? Ja, wenn:
  1.  der Vorgang ein Zufallsexperiment ist. Das liegt vor, wenn:
     • Das Ergebnis des Vorgangs durch den Zufall entschieden wird und nicht berechenbar oder vorhersehbar ist
     • Das Experiment jederzeit beliebig oft wiederholt werden kann
  2.  und bei dem Vorgang alle dafür möglichen Ausgänge gleichwahrscheinlich sind
• Ist das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit berechnet werden soll ein Elementarereignis?
  1. Ja (Wenn nur ein Ausgang zum Eintreten des Ereignisses führt):
  2. Nein (Wenn mehrere Ergebnisse zu demselben Ereignis führen):

Zusammenfassung

• Die absolute Häufigkeit ist die Anzahl k der Eintritte eines bestimmten Ereignisses bei n Ausführungen/Versuchen.
• Die relative Häufigkeit entspricht der absoluten Häufigkeit k, geteilt durch die Anzahl der Versuche n.
• Man kann nur dann von einer Wahrscheinlichkeit sprechen, wenn es sich um ein Zufallsexperiment handelt und der Grenzwert der relativen Häufigkeit eines Versuchs für n 🡪 dieser Wahrscheinlichkeit entspricht.
• Für das Bestehen einer Laplace-Wahrscheinlichkeit muss ein Laplace-Experiment vorliegen, dass sich durch die Gleichwahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse auszeichnet.
• Die Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnet sich aus der Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller Elemente in der Ergebnismenge Omega.

Unsere Empfehlung 

Falls es dir schwerfällt, Laplace-Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, oder ein Laplace-Experiment zu erkennen, versuche zuerst, dich mit dem Thema Zufallsexperimente, Ergebnisse und Ereignisse zu beschäftigen. Wenn du diese Themen verstanden hast, liest sich dieser Artikel leichter und schon fällt das Rechnen nicht mehr so schwer. Achte besonders darauf, Ergebnisse und Ereignisse nicht zu verwechseln, da dies entscheidend für das Vorliegen eines Laplace-Experiments ist.

Insider Tipp:

So viele Vokabeln! Das denkt man sich eigentlicher im Englischunterricht. Doch auch die Mathematik lässt sich wie eine eigene Sprache behandeln und wer die Vokabeln nicht kennt, wird es schwer haben eine neue Sprache zu lernen. Deshalb: Schreib dir am besten die Bedeutung von mathematischen Begriffen auf und verschaffe dir damit einen guten Überblick. Wie mit Vokabeln!