Eine Laplace Münze wird 10 mal geworfen

Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, wobei jedes Ergebnis dieselbe Wahrscheinlichkeit hat. Dies ist zum Beispiel bei einem Würfel der Fall, da die Wahrscheinlichkeit eine eins zu würfeln genauso hoch ist, wie die restlichen Ergebnisse.

Beispiele für Laplace Experimente sind:

• Würfeln
• Münze werfen
• Eine von 5 unterschiedlichen Kugeln ziehen
• ...

Die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Laplace Experiments ist:

Dabei ist:

• |E| die Anzahl an Ergebnissen, bei denen euer Ereignis zutrifft.
• • Beim Ereignis die 1 würfeln, gibt es nur eine Möglichkeit, nämlich wenn der Würfel die 1 anzeigt, deshalb würde dann die 1 an der Stelle stehen.
  • Beim Ereignis eine gerade Zahl würfeln, gibt es 3 Möglichkeiten, die 2, 4 und 6. Deshalb kommt dann bei diesem Beispiel eine 3 an diese Stelle. 
• |Ω| ist die Anzahl an allen möglichen Ergebnissen des Zufallsexperiments.
• • Beim Würfeln wäre es 6, da es 6 mögliche Ergebnisse beim Würfeln gibt.
  • Beim Münze werfen wäre es 2, da nur Kopf und Zahl möglich sind

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Ihr werft 2 mal eine Münze und sollt folgende Wahrscheinlichkeiten berechnen:

1. Ihr werft mindestens einmal Kopf (Ereignis A), also entweder einmal oder zweimal
2. Ihr werft zweimal Kopf (Ereignis B)

Das berechnet ihr so:

Lösung zu 1.

1. Bestimmt, wie viele Ergebnisse auf die Forderung zutreffen, das macht ihr entweder, indem ihr euch die Möglichkeiten aufschreibt, oder ihr rechnet es aus:
   1. Aufgeschrieben wäre es (K steht für Kopf und Z für Zahl): A={ZK; ZZ; KZ} -> es sind 3 Möglichkeiten
   2. oder, um es zu berechnen, schaut euch noch mal unser Kapitel Anzahl der Möglichkeiten berechnen an.
2. Dann bestimmt man die Anzahl an allgemein möglichen Ergebnissen, also wie viele mögliche Ergebnisse gibt es beim zweimaligen Münzwurf (z.B. Kopf-Kopf, Zahl-Kopf, Zahl-Zahl...),
   1. das macht man, entweder, indem man sich alle Möglichkeiten aufschreibt -> Es gibt insgesamt 4 Möglichkeiten.
   2. oder, indem man die Anzahl an Möglichkeiten pro Wurf (also 2) hoch die Anzahl an Würfen (hier auch 2) nimmt -> Es gibt insgesamt 4 Möglichkeiten beim zweifachen Münzwurf.
3. danach teilt man die Anzahl an Ergebnissen, die eure Bedingung erfüllen, durch die gesamt mögliche Anzahl an Ergebnissen, dann erhaltet ihr für die Wahrscheinlichkeit:

Wie ihr seht, ist die Wahrscheinlichkeit mindestens einmal Kopf zu werfen bei 75%. Alternativ könnt ihr auch einfach die Wahrscheinlichkeit das genau 1 mal Kopf raus kommt (50%) mit der Wahrscheinlichkeit das genau 2 mal Kopf raus kommt (25%) addieren. Denn das sind die beiden Möglichkeiten, dass mindestens einmal Kopf dabei ist.

Lösung zu 2.

Geht wie oben vor dann erhaltet ihr:

1.Eine Münze wird 100 mal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl ist jeweils p = 0,5. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

A:Es wird genau 52 mal Kopf geworfen.B:Mindestens 43 mal wird Kopf geworfen.C:Mindestens 38 mal und höchstens 56 mal wird Kopf geworfen.D:Weniger als 45 mal wird Kopf geworfen.E:Mindestens 40 mal und höchstens 60 mal wird Kopf geworfen.F:Mehr als 47 mal wird Kopf geworfen.G:Mindestens 45 mal und höchstens 55 mal wird Kopf geworfen.

H:Es wird genau 50 mal die Zahl geworfen.

1. Ausführliche Lösungen

A: Genau 52 mal Kopf {0, ……51, 52, 53, ….., 100}

B: Mindestens 43 mal Kopf {0, …..,42, 43, 44, 45, ….., 100}

C: Mindestens 38 mal und höchstens 56 mal Kopf {0, …..,37, 38,…, 56, 57, ….., 100}

D: Weniger als 45 mal Kopf {0, 1, …, 44, 45, 46, ….., 100}

E: Mindestens 40 mal und höchstens 60 mal Kopf {0, …..,39, 40,…, 60, 61, ….., 100}

F: Mehr als 47 mal Kopf {0, …..,47, 48, 49, 50, ….., 100}

G: Mindestens 45 mal und höchstens 55 mal Kopf {0, …..,44, 45,…, 55, 56, ….., 100}

H: Genau 50 mal Kopf {0, ……49, 50, 51, ….., 100}

2.In 50% aller Haushalte in Deutschland sind zwei Autos vorhanden. Für eine Befragung werden 100 Haushalte zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

A:In weniger als 60 Haushalten sind zwei Autos vorhanden.B:In genau 60 Haushalten sind zwei Autos vorhanden.C:In mehr als 40 Haushalten sind zwei Autos vorhanden.

D:In mindestens 40 und höchstens 60 Haushalten sind zwei Autos vorhanden.

2. Ausführliche Lösungen

A: In weniger als 60 Haushalten sind zwei Autos vorhanden. {0, 1, …, 59, 60, …, 100}

B: In genau 60 Haushalten sind zwei Autos vorhanden {0, ……59, 60, 61, ….., 100}

C: In mehr als 40 Haushalten sind zwei Autos vorhanden {0, …..,40, 41, 42, …, 100}

D: In mindestens 40 und höchstens 60 Haushalten sind zwei Autos vorhanden
{0, …..,39, 40,…, 60, 61, ….., 100}

3.Nebenstehende Grafik zeigt eine Binomialverteilung mit verschiedenen Sigma- Umgebungen. a)Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Sigma -Umgebungen:

3. Ausführliche Lösungen

a)

b) Wahrscheinlichkeit der einfachen Sigma- Umgebung.

Wahrscheinlichkeit der doppelten Sigma- Umgebung.

Wahrscheinlichkeit der dreifachen Sigma- Umgebung.

4.Nebenstehende Grafik zeigt eine Binomialverteilung mit verschiedenen Prozent- Umgebungsradien. Wie groß ist jeweils der Radius,
der zu einer 90%, 95% bzw. 99% Umgebung gehört?

Drücken Sie den Radius in Einheiten von Sigma aus.

4. Ausführliche Lösungen

Liegt für die Binomialverteilung eine Tabelle mit den kumulierten Wahrscheinlichkeiten vor, lässt sich das Problem durch Einschachtelung lösen.

Ansatz für die 95% Wahrscheinlichkeit mit r = 12.

Ansatz für die 99% Wahrscheinlichkeit mit r = 14.

Der gesuchte Radius hat den Wert r = 15

Hier finden Sie die Aufgaben.

Und hier weitere Aufgaben hierzu: Aufgaben zur Binomialverteilung I

und Aufgaben zur Binomialverteilung II. 

Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung, darin auch Links zu den Aufgaben Binominalverteilung II, IV und V.