Die Zinsrechnung beschreibt ein mathematisches Verfahren zur Berechnung von Zinsen, die als Entgelt auf geliehene Geldbeträge erhoben werden.
Grundsätzlich unterteilt sich die Zinsrechnung in die „Einfache Zinsrechnung“, bei der anfallende und nicht ausgezahlte Zinsen sowie der zu verzinsende Geldbetrag, z. B. Kredit, Darlehen oder Spareinlage, nicht addiert werden, und die Zinseszinsrechnung, bei der nicht ausgezahlte Zinsen zum Grundbetrag addiert und bei der weiteren Verzinsung berücksichtigt werden.
Des Weiteren kann man nach der Anzahl der Zinsperioden (Verzinsungen) im Jahr zwischen jährlicher (einmalige Verzinsung) und unterjähriger Verzinsung (mehrmalige Verzinsung), sowie dem Sonderfall stetiger Verzinsung unterscheiden. Standardfall ist die jährliche Verzinsung: Das Kapital wird einmal jährlich, üblicherweise am Jahresende, verzinst. Dabei wird die Verzinsung im Anschluss an die Zinsperiode als dekursiv, die Vorabverzinsung als antizipativ bezeichnet.
Wird innerhalb der Zinsperiode auf ein Sparkonto eingezahlt oder davon abgehoben, so wird von Finanzunternehmen im Allgemeinen die gemischte Verzinsung herangezogen. Diese Art der Verzinsung kommt deshalb auch bei allen Anlagen mit einer Laufzeit, die nicht einem Vielfachen der Zinsperiode entspricht (zum Beispiel 3,5 Jahre bei jährlicher Verzinsung), zur Anwendung. Man spricht hierbei von gebrochener Laufzeit.
Während die Zinsrechnung im Allgemeinen von einem einmalig eingezahlten beziehungsweise geliehenen Betrag bzw. Anfangskapital ausgeht, beschäftigt sich das Teilgebiet der Rentenrechnung umgekehrt vor allem mit regelmäßig wiederkehrenden Ein- und Auszahlungen, wobei beide Aspekte schließlich in Form der Tilgungsrechnung zusammenfließen, etwa, wenn auf eine einmalige Auszahlung eines Kredits anschließend einer Serie mehr oder minder regelmäßiger Einzahlungen folgt, mit denen dieser Kredit wieder „abgezahlt“, also getilgt wird.
Die in diesem Artikel aufgeführten Formeln für die Zinsrechnung verwenden folgende Symbole:
Je nach Berechnungsmethode schwankt das Jahr zwischen 360 und 366 Tagen, der Monat zwischen 28 und 30 bis 31 Tagen. Z. B. 7 % Zinssatz für die Laufzeit von 360 Tagen.
Bei jährlicher Verzinsung gilt für das Endkapital
Durch Umformung erhält man Formeln zur Berechnung des für ein bestimmtes Endkapital nötigen Startkapitals, Zinssatzes oder der Laufzeit:
Ein Startkapital von 1.000 € wird zu einem Zinssatz von 5 Prozent über 2 Jahre angelegt. Bei einfacher Verzinsung ergäbe sich ein Endkapital von
→ Hauptartikel: Zinseszins Die Formel für das Kapital nach
n
{\displaystyle n}
Jahren bei jährlicher Verzinsung und Zinseszinsen lautet:
Die Formel lässt sich umstellen, um bei gegebenem Endkapital das Startkapital, den Zinssatz oder die Laufzeit zu bestimmen:
Ein Startkapital von 1.000 € wird zu einem Zinssatz von 5 Prozent über 2 Jahre angelegt. Bei jährlicher Verzinsung ergäbe sich ein Endkapital von
Ein Startkapital von 1.000 € wird zu einem Zinssatz von 5 % p. a. über 2 Jahre angelegt. Mit Zinseszinsen ergibt sich ein Endkapital von
Wird die Laufzeit gesucht, nach der sich das Startkapital verdoppelt hat, so gilt allgemein:
Dieser Wert lässt sich auch durch die 72er-Regel abschätzen.
Wird schließlich umgekehrt von einem gegebenen Endwert auf das Startkapital zurückgerechnet, das zur Erzielung des Endwerts bei gegebener Laufzeit und gegebenem Zinssatz nötig wäre, wird dieser Wert als Barwert des Endwerts bzw. -kapitals bezeichnet:
In Worten: Um in 2 Jahren 1.100 € von einem mit 5 % p. a. verzinsten Konto abheben zu können, müssten dazu zum gegenwärtigen Zeitpunkt 997,73 € auf dieses Konto eingezahlt werden, anders gesagt, 1.100 € in 2 Jahren sind damit praktisch soviel wert wie ebendieser Betrag in bar heute.
Bei unterjährig verzinslichen Anlagen erfolgt die Zinsgutschrift mehrmals im Jahr. Der Zeitraum der Verzinsung ist also kleiner als ein Jahr. Üblich sind beispielsweise Zeiträume von:
Die Anzahl der Zinsperioden im Jahr wird in Formeln durch das Symbol
m
{\displaystyle m}
ausgedrückt. Bei quartalsweiser Verzinsung wäre
m
{\displaystyle m}
zum Beispiel 4 (4 Quartale pro Jahr). Oftmals wird ein sogenannter nomineller Jahreszinssatz (
i
n
o
m
{\displaystyle i_{\mathrm {nom} }}
) angegeben.
Der relative Periodenzinssatz
i
r
e
l
{\displaystyle i_{\mathrm {rel} }}
beträgt dann:
Die Formeln der unterjährigen Verzinsung sind dann wie oben beschrieben zu verwenden, der Zinssatz gilt lediglich nicht mehr pro Jahr, sondern pro Zinsperiode. Die Laufzeit wird ebenfalls nicht in Jahren, sondern in Zinsperioden angegeben.
Einfache Verzinsung (linear)Für das Endkapital K n , k {\displaystyle K_{n,k}} nach n {\displaystyle n} Jahren mit je m {\displaystyle m} Zinsperioden sowie k {\displaystyle k} weiteren unterjährigen Zinsperioden gilt: K n , k = K 0 ⋅ ( 1 + [ n ⋅ m + k ] ⋅ i r e l ) {\displaystyle K_{\mathrm {n,k} }=K_{0}\cdot (1+[n\cdot m+k]\cdot i_{\mathrm {rel} })} .Dabei stellt n ⋅ m + k {\displaystyle n\cdot m+k} die Gesamtzahl von Zinsperioden nach n {\displaystyle n} Jahren und k {\displaystyle k} Perioden dar (Laufzeit in Zinsperioden). BeispielEin Kapital von 1.000 € wird bei monatlicher Verzinsung ( m = 12 {\displaystyle m=12} ) zu einem nominellen Jahreszinssatz von 6 Prozent angelegt. Der relative Periodenzinssatz beträgt 0,5 %. Nach 2 Jahren und 4 Monaten ergibt sich mit einfachen Zinsen ein Endkapital von K 2 , 4 = 1000 € ⋅ ( 1 + [ 2 ⋅ 12 + 4 ] ⋅ 0,005 ) = 1000 € ⋅ 1,140 = 1140 € {\displaystyle K_{\mathrm {2,4} }=1000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+[2\cdot 12+4]\cdot 0{,}005)=1000\;\mathrm {\euro} \cdot 1{,}140=1140\;\mathrm {\euro} }Verzinsung mit Zinseszinsen (exponentiell)Für das Endkapital K n , k {\displaystyle K_{n,k}} nach n {\displaystyle n} Jahren mit je m {\displaystyle m} Zinsperioden sowie k {\displaystyle k} weiteren unterjährigen Zinsperioden gilt K n , k = K 0 ⋅ ( 1 + i r e l ) n ⋅ m + k {\displaystyle K_{\mathrm {n,k} }=K_{0}\cdot (1+i_{\mathrm {rel} })^{n\cdot m+k}} .Die Laufzeit in Zinsperioden berechnet sich also analog zur einfachen Zinsrechnung wieder zu n ⋅ m + k {\displaystyle n\cdot m+k} . Zusätzlich zum relativen und nominellen Zinssatz lässt sich beim Zinseszinsfall der effektive Jahreszinssatz i e f f {\displaystyle i_{\mathrm {eff} }} bestimmen, bei dem eine einmalige jährliche Verzinsung zu ebendiesem Zinssatz dasselbe Ergebnis liefert wie eine mehrmalige unterjährige Verzinsung zum relativen Zinssatz. Mit i n o m {\displaystyle i_{\mathrm {nom} }} als dem nominellen Jahreszinssatz p. a., m {\displaystyle m} als der Zahl der Zinsperioden pro Jahr sowie dem Quotienten beider Größen i n o m m {\displaystyle {\tfrac {i_{\mathrm {nom} }}{m}}} als dem relativen Periodenzinssatz i r e l {\displaystyle i_{\mathrm {rel} }} gilt dann:[1] i e f f = ( 1 + i n o m m ) m − 1 {\displaystyle i_{\mathrm {eff} }=\left(1+{\frac {i_{\mathrm {nom} }}{m}}\right)^{m}-1} .Multipliziert man die Klammer aus und lässt die höheren Potenzen von i n o m {\displaystyle i_{\mathrm {nom} }} (die für kleine i n o m {\displaystyle i_{\mathrm {nom} }} fast gar nichts zu der Summe beitragen) weg, kann man den Effektivzins gut abschätzen: i e f f ≈ i n o m + ( m 2 ) m 2 ⋅ i n o m 2 = i n o m + 1 2 ⋅ m − 1 m ⋅ i n o m 2 {\displaystyle i_{\mathrm {eff} }\approx i_{\mathrm {nom} }+{\frac {\binom {m}{2}}{m^{2}}}\cdot i_{\mathrm {nom} }^{2}=i_{\mathrm {nom} }+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {m-1}{m}}\cdot i_{\mathrm {nom} }^{2}} .Der zusätzliche Zinsgewinn bei mehrmaliger unterjähriger Verzinsung gegenüber der einmaligen jährlichen Verzinsung kann damit wie folgt abgeschätzt werden: i e f f − i n o m ≈ m − 1 2 m ⋅ i n o m 2 ≈ 0 , 5 ⋅ i n o m 2 {\displaystyle i_{\mathrm {eff} }-i_{\mathrm {nom} }\approx {\frac {m-1}{2m}}\cdot i_{\mathrm {nom} }^{2}\approx 0{,}5\cdot i_{\mathrm {nom} }^{2}} .Zusammenhang der verschiedenen in der Zinsrechnung gebräuchlichen Zinssätze und -faktoren Ist lediglich der Effektivzins gegeben, so ergibt sich der relative Periodenzinssatz, in diesem Fall von manchen Autoren auch „konformer“ Zinssatz i k o n {\displaystyle i_{\mathrm {kon} }} genannt, gemäß folgender Formel: i r e l = 1 + i e f f m − 1 = i k o n {\displaystyle i_{\mathrm {rel} }={\sqrt[{m}]{1+i_{\mathrm {eff} }}}-1=i_{\mathrm {kon} }} .Siehe auch: Effektiver Jahreszins Was den Begriff des ebengenannten „konformen“ Zinssatzes bzw. -fußes angeht, findet sich dieser im Schrifttum allerdings leider, wie schon der des „effektiven“ Zinssatzes, auf mehrere nicht immer leicht voneinander unterscheidbare Weisen verwendet, was leicht zu Verwechslungen und Missverständnissen führt. Entscheidend ist dabei in allen Fällen, was als Bezugspunkt des „konformen“ Zinssatzes gewählt wird, d. h. womit dieser Zinssatz „konform“ bzw. wozu er „äquivalent“ oder „wertgleich“ sein soll. So wird er von einzelnen Autoren,[2] aber z. B. SAP in deren Banking-Software[3] als konformer Jahreszinssatz mit dem effektiven Jahreszinssatz gleichgesetzt, im Gros der Fälle jedoch lediglich ausgehend von diesem oder dem nominellen Jahreszinssatz definiert. Erfolgt die Definition des „konformen“ Zinssatzes bzw. -fußes gemäß nachstehender Formel lediglich auf Grundlage des effektiven Jahreszinsatzes[4], ohne ihn mit diesem gleichzusetzen, erweist er sich damit in der Endkonsequenz als nichts anderes als der schon genannte relative Periodenzinssatz: i k o n = 1 + i e f f m − 1 = 1 + ( 1 + i n o m m ) m − 1 m − 1 = i n o m m = i r e l {\displaystyle i_{\mathrm {kon} }={\sqrt[{m}]{1+i_{\mathrm {eff} }}}-1={\sqrt[{m}]{1+(1+{\frac {i_{\mathrm {nom} }}{m}})^{m}-1}}-1={\frac {i_{\mathrm {nom} }}{m}}=i_{\mathrm {rel} }} .Dieser „konforme“ Zinssatz ist somit derjenige Zinssatz, der bei m-facher geometrischer bzw. exponentieller Verzinsung zum Jahresende dasselbe Ergebnis wie die einfache Anwendung des effektiven Jahreszinssatzes liefert: ( 1 + i k o n ) m = 1 + i e f f {\displaystyle (1+i_{\mathrm {kon} })^{m}=1+i_{\mathrm {eff} }} .Um Missverständnissen vorzubeugen, sollte der so definierte „konforme“ Zinssatz daher präziser als zum effektiven Jahreszinssatz konformer (wertgleicher) unterjähriger Zinssatz[5] bezeichnet –– oder stattdessen besser von vornherein dem bedeutungsgleichen Begriff des relativen Periodenzinssatzes der Vorzug gegeben – werden. Der andere Teil der überwiegenden Zahl von Autoren dagegen wählt als Bezugspunkt für die Definition des „konformen“ Zinssatzes statt des effektiven den nominellen Jahreszinssatz[6] i k o n = 1 + i n o m m − 1 {\displaystyle i_{\mathrm {kon} }={\sqrt[{m}]{1+i_{\mathrm {nom} }}}-1} .Der „konforme“ Zinssatz ist damit nun – anders als zuvor – derjenige Zinssatz, der bei m-facher geometrischer bzw. exponentieller Verzinsung zum Jahresende dasselbe Ergebnis wie die einfache Anwendung des nominellen Jahreszinssatzes liefert ( 1 + i k o n ) m = 1 + i n o m {\displaystyle (1+i_{\mathrm {kon} })^{m}=1+i_{\mathrm {nom} }} ,weshalb er von einigen Autoren auch als – man sollte ergänzen „zum nominellen Jahreszinssatz“ – konformer (äquivalenter) unterjähriger[7][8] oder Periodenzinssatz[9][10] bezeichnet wird. Beispiel 1Ein Kapital von 1.000 € wird wie oben angelegt ( m = 12 {\displaystyle (m=12} ; i n o m = 6 , % {\displaystyle i_{\mathrm {nom} }=6,\%} , i r e l = 0 , 06 12 = 0,005 , i k o n = 1 , 06 12 − 1 ≈ 0,004 868 ) {\displaystyle i_{\mathrm {rel} }={\tfrac {0{,}06}{12}}=0{,}005,i_{\mathrm {kon} }={\sqrt[{12}]{1{,}06}}-1\approx 0{,}004868)} . Nach 2 Jahren und 4 Monaten und damit 28-maliger geometrischer bzw. exponentieller Verzinsung mit dem relativen Periodenzinssatz i r e l {\displaystyle i_{\mathrm {rel} }} beträgt das Kapital inkl. der Zinseszinsen dann K 2 , 4 = 1000 € ⋅ ( 1 + 0,005 ) 2 ⋅ 12 + 4 ≈ 1149 , 87 € {\displaystyle K_{\mathrm {2,4} }=1000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+0{,}005)^{2\cdot 12+4}\approx 1149{,}87\;\mathrm {\euro} } .Dasselbe Resultat erhielte man aber auch, wenn man von vornherein mit dem effektiven Jahreszinssatz, in diesem Fall i e f f = ( 1 + 0 , 06 12 ) 12 − 1 ≈ 0,061 678 ≈ 6,167 8 % {\displaystyle i_{\mathrm {eff} }=\left(1+{\frac {0{,}06}{12}}\right)^{12}-1\approx 0{,}061678\approx 6{,}1678\,\%} ,rechnen würde: K 2 , 4 = 1000 € ⋅ ( 1 + 0,061 678 ) 28 12 ≈ 1149 , 87 € {\displaystyle K_{\mathrm {2,4} }=1000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+0{,}061678)^{\frac {28}{12}}\approx 1149{,}87\;\mathrm {\euro} } .Würde dagegen in gleicher Weise, nur diesmal mit dem (zum nominellen Jahreszinssatz) konformen Periodenzinssatz i k o n {\displaystyle i_{\mathrm {kon} }} verzinst, ergäbe sich nach Ablauf der 28 Monate nur noch ein Kapital inkl. Zinseszinsen von K 2 , 4 = 1000 € ⋅ ( 1 + 0 , 06 ) 28 12 = 1000 € ⋅ ( 1 + 0,004 868 ) 2 ⋅ 12 + 4 ≈ 1145 , 64 € {\displaystyle K_{\mathrm {2,4} }=1000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+0{,}06)^{\frac {28}{12}}=1000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+0{,}004868)^{2\cdot 12+4}\approx 1145{,}64\;\mathrm {\euro} } .Beispiel 2Ein Kapital von 10.000 € wird angelegt zu i n o m = 3 % {\displaystyle i_{\mathrm {nom} }=3\,\%} jährlich. Bei einer jährlichen Verzinsung ( m = 1 {\displaystyle m=1} ) beträgt das Kapital mit Zinsen nach einem Jahr: K 1 = 10000 € ⋅ ( 1 + 0 , 03 / 1 ) 1 = 10300 , 00 € {\displaystyle K_{1}=10000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+0{,}03/1)^{1}=10300{,}00\;\mathrm {\euro} }der Effektivzins ist i e f f = i n o m = 3 , 00 % {\displaystyle i_{\mathrm {eff} }=i_{\mathrm {nom} }=3{,}00\,\%} . Bei einer unterjährigen quartalsweisen Verzinsung ( m = 4 {\displaystyle m=4} ) beträgt das Kapital mit Zinsen nach einem Jahr: K 1 , 0 = 10000 € ⋅ ( 1 + 0 , 03 / 4 ) 4 ≈ 10303 , 39 € {\displaystyle K_{\mathrm {1,0} }=10000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+0{,}03/4)^{4}\approx 10303{,}39\;\mathrm {\euro} }Der zusätzliche Zinsgewinn bei einer quartalsweisen Verzinsung gegenüber der jährlichen Verzinsung ist i e f f − i n o m = ( 1 + 0 , 03 4 ) 4 − 1 − 0 , 03 ≈ 0,033 92 % {\displaystyle i_{\mathrm {eff} }-i_{\mathrm {nom} }=\left(1+{\frac {0{,}03}{4}}\right)^{4}-1-0{,}03\approx 0{,}03392\,\%} .und kann abgeschätzt werden mit: i e f f − i n o m ≈ 4 − 1 2 ⋅ 4 ⋅ 0 , 03 2 = 0,033 75 % {\displaystyle i_{\mathrm {eff} }-i_{\mathrm {nom} }\approx {\frac {4-1}{2\cdot 4}}\cdot 0{,}03^{2}=0{,}03375\,\%} .Bei einer unterjährigen monatlichen Verzinsung ( m = 12 {\displaystyle m=12} ) beträgt das Kapital mit Zinsen nach einem Jahr: K 1 , 0 = 10000 € ⋅ ( 1 + 0 , 03 / 12 ) 12 ≈ 10304 , 16 € {\displaystyle K_{\mathrm {1,0} }=10000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+0{,}03/12)^{12}\approx 10304{,}16\;\mathrm {\euro} }Der zusätzliche Zinsgewinn bei einer monatlichen Verzinsung gegenüber der jährlichen Verzinsung ist i e f f − i n o m = ( 1 + 0 , 03 12 ) 12 − 1 − 0 , 03 ≈ 0,041 60 % {\displaystyle i_{\mathrm {eff} }-i_{\mathrm {nom} }=\left(1+{\frac {0{,}03}{12}}\right)^{12}-1-0{,}03\approx 0{,}04160\,\%} .und kann abgeschätzt werden mit: i e f f − i n o m ≈ 12 − 1 2 ⋅ 12 ⋅ 0 , 03 2 = 0,041 25 % {\displaystyle i_{\mathrm {eff} }-i_{\mathrm {nom} }\approx {\frac {12-1}{2\cdot 12}}\cdot 0{,}03^{2}=0{,}04125\,\%} .Bei einer unterjährigen stetigen Verzinsung ( m = ∞ {\displaystyle m=\infty } , siehe weiter unten) beträgt das Kapital mit Zinsen nach einem Jahr: K 1 = 10000 € ⋅ e 1 ⋅ 0 , 03 ≈ 10304 , 55 € {\displaystyle K_{1}=10000\;\mathrm {\euro} \cdot e^{1\cdot 0{,}03}\approx 10304{,}55\;\mathrm {\euro} }Der zusätzliche Zinsgewinn bei einer stetigen Verzinsung gegenüber der jährlichen Verzinsung ist i e f f − i n o m = e 1 ⋅ 0 , 03 − 1 − 0 , 03 ≈ 0,045 45 % {\displaystyle i_{\mathrm {eff} }-i_{\mathrm {nom} }=e^{1\cdot 0{,}03}-1-0{,}03\approx 0{,}04545\,\%} .und kann abgeschätzt werden mit: i e f f − i n o m ≈ 1 2 ⋅ 0 , 03 2 = 0,045 00 % {\displaystyle i_{\mathrm {eff} }-i_{\mathrm {nom} }\approx {\frac {1}{2}}\cdot 0{,}03^{2}=0{,}04500\,\%} .Eine Geldanlage mit einer jährlichen einmaligen Verzinsung von z. B. 3,05 % ergäbe damit also stets einen höheren Zinsertrag als eine Geldanlage mit einem nominalen Zinssatz von nur 3,00 % und dafür beliebig häufiger unterjähriger Verzinsung. Viele Geldinstitute dagegen werben mit dem höheren Zinsertrag bei einer unterjährigen, z. B. quartalsweisen Verzinsung, ohne den höheren Zinsertrag genau zu beziffern. An dem obigen Beispiel ist leicht zu erkennen, dass die unterjährige quartalsweise Verzinsung bei einer Anlage von 10.000 € nur einen minimalen zusätzlichen Zinsertrag 3,39 € liefert, und selbst im Idealfall der stetigen Verzinsung wären es nicht mehr als 4,55 €. Üblicherweise schreiben Banken und andere Finanzunternehmen auf laufenden Konten und Sparbüchern die Zinsen am Ende der Zinsperiode gut. Bei Sparbüchern und anderen laufenden Konten ist dies meist das Ende des Jahres, bei vertraglich festgelegten Anlagen oft ein anderer Zeitpunkt. Obwohl eigentlich nach Zinseszinsrechnung verfahren wird, wird Kapital, das nicht am letzten Zinsverrechnungszeitpunkt und damit auch nicht die gesamte Zinsperiode über angelegt war, mit einfachen Zinsen verzinst, ebenso wie an einem Auszahlungstag innerhalb der Zinsperiode die bis dahin im Jahr angefallenen. Die folgende Grafik stellt eine übliche Anlage dar: die Anlage fällt auf einen beliebigen Tag des Jahres, das Kapital wird einige Jahre verzinst und schließlich an einem beliebigen Tag innerhalb des Jahres wieder ausgezahlt.
Der gesamte Anlagezeitraum setzt sich wie folgt zusammen: Zunächst wird das Kapital über den Restzeitraum 1 ( t 1 {\displaystyle t_{1}} Tage) mit einfachen Zinsen verzinst. Das so erhaltene Kapital verzinst sich über die n {\displaystyle n} Jahre nach der Zinseszins-Formel. Der Restzeitraum 2 ( t 2 {\displaystyle t_{2}} Tage) wird dann wieder vom Kapital am Ende des n-ten Jahres einfach verzinst. Zusammengefasst ergibt sich folgende Formel für das Kapital am Auszahlungstag: K = K 0 ⋅ ( 1 + i ⋅ t 1 360 ) ⋅ ( 1 + i ) n ⋅ ( 1 + i ⋅ t 2 360 ) {\displaystyle K=K_{0}\cdot \left(1+i\cdot {\frac {t_{1}}{360}}\right)\cdot (1+i)^{n}\cdot \left(1+i\cdot {\frac {t_{2}}{360}}\right)} Nach der Deutschen Zinsberechnungsmethode werden für das Jahr 360 Tage angesetzt (siehe den entsprechenden Abschnitt im Artikel Zinssatz).Bei gebrochenen Anlagelaufzeiten ist die Wertstellungspraxis der Banken zu beachten: Bei Sparguthaben wird in Deutschland üblicherweise der Anlagetag mitgerechnet, der Tag der Auszahlung wird aber nicht mehr verzinst. Ansonsten – z. B. bei Sicht- und Termineinlagen – wird umgekehrt zwar der Auszahlungstag, nicht aber der Einzahlungstag verzinst.[11] Bei unterjähriger Verzinsung geht man analog vor und verändert entsprechend den Bezugszeitraum (z. B. n {\displaystyle n} in Quartalen, 90 statt 360 im Nenner). BeispielAm 25. Juni 2008 werden 1.000 € zu einem Zinssatz von 2,5 % auf einem Sparbuch angelegt. Wie hoch ist der Auszahlungsbetrag bei Auflösung des Sparbuches am 12. April 2013? Bis zum Ende des Jahres 2008 vergehen nach Deutscher Zinsberechnungsmethode t 1 = 6 ⋅ 30 + 6 = 186 {\displaystyle t_{1}=6\cdot 30+6=186} Tage. Das Kapital liegt die gesamten Jahre 2009–2012 fest ( n = 4 {\displaystyle n=4} ). Im Jahr 2013 werden noch für t 2 = 3 ⋅ 30 + 11 = 101 {\displaystyle t_{2}=3\cdot 30+11=101} Tage Zinsen gezahlt. Das Kapital am Auszahlungstag beträgt also K = 1000 € ⋅ ( 1 + 0,025 ⋅ 186 360 ) ⋅ ( 1 + 0,025 ) 4 ⋅ ( 1 + 0,025 ⋅ 101 360 ) = 1125 , 91 € {\displaystyle K=1000\;\mathrm {\euro} \cdot \left(1+0{,}025\cdot {\frac {186}{360}}\right)\cdot (1+0{,}025)^{4}\cdot \left(1+0{,}025\cdot {\frac {101}{360}}\right)=1125{,}91\;\mathrm {\euro} }Die Berechnung einfacher Zinsen begünstigt den Anleger: falls Zinseszinsen über die gesamte Laufzeit berechnet würden, erhielte man im vorliegenden Fall K = 1000 € ⋅ 1,025 4 + 287 360 ≈ 1125 , 76 € {\displaystyle K=1000\;\mathrm {\euro} \cdot 1{,}025^{4+{\frac {287}{360}}}\approx 1125{,}76\;\mathrm {\euro} } .Die stetige Verzinsung ist ein Sonderfall der unterjährigen exponentiellen Verzinsung (mit Zinseszinsen), bei der die Anzahl der Zinsperioden gegen unendlich strebt (auch Momentanverzinsung oder kontinuierliche Verzinsung). Der Zeitraum der einzelnen Zinsperiode geht also gegen 0. Für das Endkapital nach n {\displaystyle n} Jahren gilt bei einem Zinssatz i {\displaystyle i} : K = lim m → ∞ [ K 0 ⋅ ( 1 + i m ) m n ] = K 0 ⋅ e n ⋅ i {\displaystyle {\begin{matrix}K&=&\lim _{m\to \infty }\left[K_{0}\cdot \left(1+{\frac {i}{m}}\right)^{mn}\right]\\\\&=&K_{0}\cdot e^{n\cdot i}\end{matrix}}}Ein Startkapital von 1.000 € wird zu einem Zinssatz von 5 Prozent über 2 Jahre angelegt. Bei stetiger Verzinsung ergäbe sich ein Endkapital von K 2 = 1000 € ⋅ e 2 ⋅ 0 , 05 = 1105 , 17 € {\displaystyle K_{2}=1000\;\mathrm {\euro} \cdot e^{2\cdot 0{,}05}=1105{,}17\;\mathrm {\euro} }Einer der Vorteile der stetigen Verzinsung ist, dass man sich keine Gedanken über die Zinskapitalisierung machen muss, da quasi jederzeit kapitalisiert wird. Damit ist die stetige Verzinsung oft auch Grundlage von finanzmathematischen Modellen, da sich diese Verzinsungsart besonders einfach handhaben lässt. Ein bekanntes Beispiel dafür ist das Black-Scholes-Modell.
Wiktionary: Zins – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen Wikibooks: M A T H E μ α T R i x {\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}} Mathematik für die Schule – Zinsrechnung
Normdaten (Sachbegriff): GND: 4117719-8 Page 2Die 72er-Regel ist eine Faustformel aus der Zinsrechnung. Die Regel gibt näherungsweise die Verdopplungszeit an, also die Zeit nach der sich eine verzinsliche Kapitalanlage im Nennwert verdoppelt (durch den Effekt des Zinseszins). Dazu teilt man 72 durch den Zinsfuß des angelegten Betrages, daher der Name der Regel. Varianten der 72er-Regel sind die 70er-Regel und die 69er-Regel.
Die Zeit t {\displaystyle t} (in Jahren), in der sich eine Kapitalanlage mit Zinssatz i {\displaystyle i} (pro Jahr) verdoppelt, ist nach der 72er-Regel: t ≈ 72 100 ⋅ i = 72 p Jahre {\displaystyle t\approx {\frac {72}{100\cdot i}}={\frac {72}{p}}~{\text{Jahre}}} .Dabei bezeichnet p {\displaystyle p} den Zinsfuß. Man kann dieselbe Formel benutzen, um abzuschätzen, welcher Zinsfuß p {\displaystyle p} benötigt wird, um ein Kapital in vorgegebener Zeit t {\displaystyle t} zu verdoppeln: p ≈ 72 Jahre t {\displaystyle p\approx {\frac {72~{\text{Jahre}}}{t}}} .In welcher Zeit t {\displaystyle t} wird sich ein Betrag, der zu einem Zinsfuß von p = 8 {\displaystyle p=8} (8 Prozent pro Jahr) angelegt ist, verdoppeln? t = 72 p Jahre = 72 8 Jahre = 9 Jahre {\displaystyle t={\frac {72}{p}}~{\text{Jahre}}={\frac {72}{8}}~{\text{Jahre}}=9~{\text{Jahre}}}Welchen Zinsfuß p {\displaystyle p} (pro Jahr) benötigt man, um ein Kapital im Zeitraum t = 12 Jahre {\displaystyle t=12~{\text{Jahre}}} zu verdoppeln? p = 72 Jahre t = 72 Jahre 12 Jahre = 6 {\displaystyle p={\frac {72~{\text{Jahre}}}{t}}={\frac {72~{\text{Jahre}}}{12~{\text{Jahre}}}}=6}Die 72er-Regel kann nicht nur auf die Zinsrechnung, sondern auf jede Art exponentiellen Wachstums angewendet werden. Beispielsweise beträgt die Generationszeit, also die Zeitspanne, in der sich eine Mikrobenpopulation verdoppelt, bei einer stündlichen Wachstumsrate von 4 % {\displaystyle 4\,\%} ungefähr 72 4 = 18 {\displaystyle {\tfrac {72}{4}}=18} Stunden. Nach der Zinseszinsformel ist das Endkapital K t {\displaystyle K_{t}} einer festverzinslichen Anlage mit Anfangskapital K 0 {\displaystyle K_{0}} bei einem Zinssatz von i {\displaystyle i} nach einer Laufzeit von t {\displaystyle t} Jahren bei jährlicher Verzinsung K t = K 0 ( 1 + i ) t = K 0 ( 1 + p 100 ) t {\displaystyle K_{t}=K_{0}\left(1+i\right)^{t}=K_{0}\left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{t}} .Setzt man nun K t = 2 K 0 {\displaystyle K_{t}=2K_{0}} , wendet den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung an und löst nach t {\displaystyle t} auf, ergibt sich die Anzahl der Jahre bis zur Verdopplung als t = ln ( 2 ) ln ( 1 + p 100 ) {\displaystyle t={\frac {\ln(2)}{\ln \left(1+{\frac {p}{100}}\right)}}} .Nachdem ln ( 1 + x ) {\displaystyle \ln(1+x)} für betragsmäßig kleine x {\displaystyle x} gegen x {\displaystyle x} konvergiert (siehe Taylor-Reihe) und mit ln ( 2 ) ≈ 0,693 1 {\displaystyle \ln(2)\approx 0{,}6931} ergibt sich als Näherungsformel t ≈ 0,693 1 p 100 = 69 , 31 p {\displaystyle t\approx {\frac {0{,}6931}{\frac {p}{100}}}={\frac {69{,}31}{p}}} .Nähert man nun ln ( 2 ) {\displaystyle \ln(2)} durch 0 , 69 {\displaystyle 0{,}69} oder 0 , 70 {\displaystyle 0{,}70} , so spricht man von der 69er-Regel[1] oder der 70er-Regel.[2] Als Faustwert hat sich aber die Näherung durch 0 , 72 {\displaystyle 0{,}72} bewährt, unter anderem weil die Zahl 72 {\displaystyle 72} viele kleine Teiler aufweist ( 72 = 2 3 ⋅ 3 2 ) {\displaystyle (72=2^{3}\cdot 3^{2})} .[3] Für die 69er-Regel findet sich in der Literatur auch eine Modifikation der Form t ≈ 69 p + 0 , 35 {\displaystyle t\approx {\frac {69}{p}}+0{,}35} ,die durch numerische Approximation gefunden wurde.[4][5] Die Logarithmusfunktion kann damit im Bereich 0 < p < 35 {\displaystyle 0<p<35} mit maximal 0,5-prozentiger Abweichung genähert werden. Wird 0,32 als Wert des Absolutglieds verwendet, betragen die Abweichungen im Bereich 0 < p < 100 {\displaystyle 0<p<100} maximal ein Prozent gegenüber den exakten Verdopplungszeiten. Relative Genauigkeiten der 72er-Regel sowie ihrer Varianten. Die folgende Tabelle vergleicht die Abschätzungen gemäß der 72er-, der 70er-, der 69er-Regel und weiteren oben aufgeführten Näherungen mit den tatsächlichen Werten für typische Zinssätze. Eine grafische Darstellung der relativen Genauigkeiten zeigt das Diagramm am rechten Rand.
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Was ist der unterschied zwischen zinsformel und effektiv zinsformel
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