Erkläre den unterschied zwischen den graphen wenn der definitionsbereich

Hier erfährst du, was eine Funktion ist und wie du sie beschreiben und darstellen kannst.

Zuordnungen spielen im täglichen Leben, in den Naturwissenschaften und natürlich in der Mathematik eine sehr wichtige Rolle.

Eine Zuordnung ist eine Beziehung, die - nicht notwendig allen - Elementen einer Ausgangsmenge jeweils ein oder mehrere Elemente einer Zielmenge zuordnet.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Zuordnungen anzugeben.

Pfeildiagramm Das folgende Pfeildiagramm gibt die Zuordnung an, die vier Schülern (Sophie, Max, Lea, Leon) jeweils die Farbe ihres Fahrrades bzw. die Farben ihrer Fahrräder zuordnet.

Tabelle Im Lotto 6 aus 49 werden 6 Zahlen und eine Zusatzzahl nacheinander aus den natürlichen Zahlen von 1 bis 49 (ohne Zurücklegen) gezogen. Außerdem wird noch eine Superzahl aus den Ziffern 0 bis 9 gezogen.

Es gibt 8 Gewinnklassen. Jede Gewinnklasse erhält einen bestimmten Anteil der Ausschüttungssumme, wobei dieser Anteil dann unter allen Gewinntipps dieser Klasse gleichmäßig aufgeteilt wird. Die folgende Tabelle gibt die Zuordnung an, die jeder Gewinnklasse den zugehörigen Ausschüttungsanteil zuordnet:

Wenn du dich nur für einige einander zugeordnete Wertepaare interessierst, kannst du diese Wertepaare zusammengefasst in einer Menge angeben.

Menge von Wertepaaren Du kannst mit Hilfe einer Menge von Wertepaaren die zum Ausheben einer Grube benötigte Zeit in Stunden in Abhängigkeit von der Anzahl der beteiligten Arbeiter angeben. In den aufgeführten Wertepaaren bedeutet die vordere Zahl die Anzahl der beteiligten Arbeiter und die hintere Zahl die benötigte Arbeitszeit in Stunden: {(2; 12), (3; 8) , (4; 6) , (6; 4)}

Eine nicht allzu große Menge von Wertepaaren lässt sich sehr übersichtlich in einer Wertetabelle darstellen.

Wertetabelle Die zum Ausheben einer Grube benötigte Zeit in Stunden in Abhängigkeit von der Anzahl der beteiligten Arbeiter wurde im vorhergehenden Beispiel mit Hilfe einer Menge von Wertepaaren angegeben.Du kannst somit die Menge von Wertepaaren {(2; 12), (3; 8), (4; 6), (6; 4)} in einer Wertetabelle darstellen:

Viele Zuordnungen haben zwei wesentliche Merkmale:

Zuordnungen, die diese beiden Eigenschaften haben, nennt man Funktionen. In diesem Fall bezeichnet man die Ausgangsmenge als Definitionsbereich und die Zielmenge als Wertebereich.

Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element des Definitionsbereichs jeweils genau ein Element des Wertebereichs zuordnet.

Beachte:

Wenn du also einen Text über Funktionen liest, solltest du immer erst schauen, welche dieser Begriffe benutzt werden und wie sie definiert sind.

Ist die im Pfeildiagramm dargestellte Zuordnung eine Funktion?

Funktionen erkennen

Die Zuordnung ist keine Funktion.

Ist die im Pfeildiagramm dargestellte Zuordnung eine Funktion?

Funktionen erkennen

Die Zuordnung ist eine Funktion.

Welche Mengen von Wertepaaren stellen eine Funktion dar?

Funktionen erkennen

Nur die Wertepaar-Mengen {(2; 3), (4; 7), (-2; 8), (5; 3), (1; 1)} und {(1; 3), (2; 4), (-4; 3), (-6; 3), (4; -3)} stellen Funktionen dar.Jedem vorderen Wert wird genau ein hinterer Wert zugeordnet. In den beiden anderen Fällen wird den Werten 3 bzw. 6 jeweils mehr als ein Wert zugeordnet. Die Zuordnungen sind in diesem Falle also mehrdeutig und stellen keine Funktionen dar.

Um Funktionen kurz und bündig angeben zu können, sind gewisse Schreibweisen und Bezeichnungen üblich.

Hier ist eine übliche Form, eine Funktion anzugeben: f :[0;1]

[2;3], x

y , y = x 2 + 2 Bei dieser Schreibweise bedeutet f :[0;1]

[2;3],

In der Regel haben Funktionen einen Namen. Oft sieht man die Buchstaben f , g oder h als Namen. Selbstverständlich kannst du auch andere Buchstaben (klein oder groß), ganze Worte oder sonstige Zeichenkombinationen als Namen für Funktionen verwenden. x

y , bedeutet

In der Mathematik werden im Zusammenhang mit Funktionen die Werte aus dem Definitionsbereich sehr oft mit der Variablen x und die Werte aus dem Wertebereich mit der Variablen y bezeichnet. Dies ist keine feste Regel. Speziell in Sachzusammenhängen können auch andere Buchstaben an die Stelle von x bzw. y treten. Zum Beispiel steht t oft für die Zeit, v für die Geschwindigkeit, s für eine zurückgelegte Wegstrecke, T für die Temperatur, V für das Volumen, α für den Winkel u. v. m. y = x 2 + 2

Die Variable x heißt in diesem Zusammenhang Argument der Funktion. Da in der Mathematik das Argument einer Funktion häufig mit x bezeichnet wird, spricht man auch oft einfach vom x-Wert. Der Ausdruck f(x) heißt Funktionswert (von f an der Stelle x). Hier ist das der Wert, den du durch Einsetzen des x-Wertes in den Term x 2 + 2 berechnen kannst. Da in der Mathematik die Elemente des Wertebereichs einer Funktion häufig mit y bezeichnet werden, spricht man auch oft einfach vom y-Wert. Der Funktionsterm beschreibt also die Funktionswerte an jeder Stelle des Definitionsbereichs. In diesem Fall schreibt man statt x

y auch x

f(x), Im Beispiel wäre das x

x 2 + 2 Dieser Ausdruck heißt Zuordnungsvorschrift. Da die Angabe von Funktionen nicht einheitlich ist, wirst du in verschiedenen Texten viele Kombinationen der eben erklärten Symbole und Abkürzungen sehen, wie zum Beispiel: y = f(x) ; f(x) = x 2 + 2 y = f(x) = x 2 + 2 f : x

y; y = f(x) = x 2 + 2 f : x

f(x); f(x) = x 2 + 2 f : x

x 2 + 2 f(x) = x 2 + 2 u. v. m.

Gegeben ist die Funktion f : ℕ → ℚ mit y = f x = x - 2 x x aus ℕ, y aus ℚ Ordne die Symbole und Terme den Begriffen zu.

Symbole und Terme zuordnen

Gegeben ist die Funktion f : x

y mit x

x - 2 x wobei x aus ℕ und y aus ℚ sind. Ordne die Symbole bzw. Terme den Begriffen zu.

Symbole und Terme zuordnen

Bestimme für die Funktion f den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich bestimmen

Wertebereich bestimmen

In vielen Texten werden der Definitionsbereich und der Wertebereich einer Funktion, die durch einen Funktionsterm, z. B. f(x), angegeben ist, nicht ausdrücklich erwähnt. In diesem Fall wählst du als Definitionsbereich alle diejenigen Werte, die du für x einsetzen kannst, um den zugehörigen Termwert f(x) zu berechnen. Als Wertebereich wählst du in so einem Fall die rationalen Zahlen ℚ. Beachte: Der Wertebereich einer Funktion muss mindestens alle durch die Funktion zugeordneten Funktionswerte enthalten. Jedoch enthält der Wertebereich oftmals viel mehr Werte als die durch die Funktion zugeordneten Funktionswerte.

Bei unzähligen Zuordnungen bestehen sowohl die Ausgangs- als auch die Zielmenge aus Zahlen.Somit sind die Wertepaare, die die Zuordnung beschreiben, Zahlenpaare. Jedes Zahlenpaar kann auch als Koordinatenpaar aufgefasst und somit als Punkt im Koordinatensystem dargestellt werden.

In der Wertetabelle ist die zum Ausheben einer Grube benötigte Zeit (in Stunden) in Abhängigkeit von der Anzahl der beteiligten Arbeiter angegeben.

Der Graph der in der Wertetabelle gegebenen Zuordnung ist im Koordinatensystem dargestellt:

In einer meteorologischen Station werden jeden Tag gemessene Werte für die Lufttemperatur aufgezeichnet.Hierbei handelt es sich um eine Zuordnung Uhrzeit → Temperatur.Der Graph des Temperaturverlaufs an einem bestimmten Tag von 0:00 Uhr bis 24:00 Uhr ist im Koordinatensystem dargestellt:

Sowohl die Menge der Wertepaare, die eine Zuordnung angeben, als auch deren graphische Darstellung in einem Koordinatensystem heißen Graph der Zuordnung. Wenn die Zuordnung eine Funktion ist, zum Beispiel die Funktionf: x

y; y = f(x) = x 2 + 2 oder kurz f: x

x 2 + 2 , besteht der Graph der Funktion f aus allen Wertepaaren (x;f(x)), also aus allen Wertepaaren (x; x 2 + 2 ), wobei x den Definitionsbereich der Funktion durchläuft. Man kann den Graphen einer Funktion f auch mit Hilfe der Funktionsgleichung y=f(x) angeben. Der Graph von f besteht aus allen Wertepaaren (x;y), die die Funktionsgleichung y=f(x) erfüllen.

Der im Koordinatensystem dargestellte Graph der Funktion f(x) = x 2 + 2 entsteht, indem die Wertepaare (x ; f(x)) = (x ; x 2 + 2 ) als Punkte (x | f(x)) = (x | x 2 + 2 ) ins Koordinatensystem eingetragen werden. Zur Verdeutlichung sind die in der Wertetabelle angegebenen Wertepaare auf dem Graphen von f als Punkte hervorgehoben.

Mit Hilfe der Funktionsgleichung y = f(x) kannst du einerseits feststellen, ob ein Wertepaar (x;y) auf dem Graphen der Funktion f liegt. Andererseits kannst du diese Gleichung auch benutzen, um unvollständige Wertepaare (x; __ ) bzw. ( __; y) so zu vervollständigen, dass das Wertepaar auf dem Graphen der Funktion f liegt. Ein Wertepaar (x;y) gehört zum Graphen der Funktion f, wenn das Wertepaar die Funktionsgleichung y = f(x) erfüllt. Das heißt, wenn du den x-Wert des Wertepaares in die Funktionsgleichung von f einsetzt, erhältst du den y-Wert des Wertepaares.

Gegeben ist die Funktionsgleichung y = 2 x - 3 . Ergänze die Wertepaare so, dass sie die Funktionsgleichung erfüllen. { (1; __ ); (4; __ ); ( __ ; -9 ); ( __ ; 3); (2; 1) }

Wertepaare vervollständigen

{ (1; -1); (4; 5); (-3; -9); (3; 3); (2; 1) }

Am Graphen einer Zuordnung kannst du oft erkennen, ob die Zuordnung eine Funktion ist. Wenn im Koordinatensystem jede senkrechte Gerade den Graphen einer Zuordnung immer in höchstens einem Punkt schneidet, handelt es sich um den Graphen einer Funktion.

Graph einer Funktion:

Kein Graph einer Funktion:

Welcher Graph gehört zu einer Funktion

Funktionen erkennen